数学分析II-5 本节主要讨论了集合的紧性. 闭集套定理 定理1. 设 \(F_k \subset \mathbb{R}^n\) 为非空闭集,\(k=1,2 \cdots\) 若 1. \(~~F_{k+1}\subset F_{k}\) \(\mathrm{diam} ~ F_k \to 0\) 则有 \(\bigcap_{i=1}^{+\infty}F_k =\{x_0\}\) Proof. 我们首先证明 2023-03-01 #数学分析
高等代数II-4 不可约多项式和因式分解唯一性定理 不可约多项式(类比素数): \(P(x)\in \mathbb{F}[x], \deg P \geq 1\) 则称 \(P(x)\) 为不可约多项式当且仅当\(P\) 不能分解为两个次数更低的多项式的乘积. 性质1: 一个不可约多项式\(p\)的因子只能为 \(c\) 或 \(cp\) . Remark: 一个多项式是否可约是和数域相关的. 性质2: 假设\(p( 2023-02-27 #高等代数
数学分析II-4 本节主要讨论了以下内容 开集,闭集 内部,闭包 边界 内点,边界点,聚点 开集与闭集 命题4. 设\(A \subset \mathbb{R}^n\) 既开又闭,则\(A= \varnothing\) 或 \(\mathbb{R}^n\) Proof. 反设\(A \neq \mathbb{R}^n, \varnothing\) . 设\(x_0 \in A\),记 \(r=d(x_0 , A 2023-02-27 #数学分析
高等代数II-3 Def 1. 因式 若\(g|f\) 我们称\(g\)是\(f\)的因式 我们称\(\varphi\) 是\(f\),\(g\) 的公因式当且仅当\(\varphi |f, \varphi |g\) 我们把\(\varphi\) 称\(f\),\(g\)的最大公因式当且仅当 1. \(\varphi\)是\(f\),\(g\)的公因式 2. \(f\),\(g\)的任意因式都是\(\varphi\ 2023-02-24 #高等代数
数学分析II-3 本节主要讨论了以下内容 \(\mathbb{R}^n\) 中点列的极限 - 定义和基本性质 - 子列的极限 - Cauchy收敛原理 点列极限的定义 Def1. 点列极限 设$x_k ^n , k=1,2 $ 如果 \(\exists a \in \mathbb{R}\) 满足 \[\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ s 2023-02-24 #数学分析
一元多项式思考题 一元多项式 思考题 \(a,b,c\in \mathbb{Z}\), 两两互异, \(P[x] \in \mathbb{Z}[x]\), 证明 \(P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a\) 不能同时成立。 Proof. 反设成立 注意到 \(a-b|P(a)-P(b)\) 因此有 \(a-b|b-c\) 同理可得 \[b-c|c-a ~~ c-a|a-b\] 于是\(a-b\leq b-c 2023-02-24 #高等代数
高等代数II-2 在本章高等代数中,许多概念可以整数环来类比到多项式环上。 1. 带余除法 整数: \(a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\), 则 \(\exists !~ q,r \in \mathbb{Z}\) s.t. \(a = bq + r\) , \(0 \leq |r| < |b|\) 多项式:\(a,b \in \mathbb{F}[x], b \neq 0\), 则 2023-02-23 #高等代数
数学分析II-2 本节主要涉及了几个分析中常用的不等式 Theorem 1. 均值不等式 设\(q_i >0,\sum_i q_i = 1\),\(a=(a_1,a_2,...,a_n),a_i >0,r>0\), 记 \[m_r(a)=(\sum_{i=1}^n q_i a_i^r)^{1/r}\] \[G(a)=\prod_{i=1}^n a_i^{q_i}\] 则有\(m_r(a) \geq 2023-02-22 #数学分析
高等代数II-1 一元多项式环 环 设 \(R \neq \emptyset\) 同时\(R\)上定义加法,乘法 若满足以下规律: \(R\) 上的加法构成一个Abel群 \(R\) 对乘法满足结合律 \(R\) 满足分配律 我们称 \(R\) 是一个环 整环 (Integral Domain) 环\(R\)满足一下性质: \(ab=ba \forall a,b \in R\) (交换环)(Commutati 2023-02-20 #高等代数
数学分析II-1 n维欧氏空间里的基本概念 线性运算 内积,长度,夹角 平行四边形的面积,平行多面体的体积 两点的距离 n维空间 \(\mathbb{R}^n = \{ x=(x^1 ,x^2 \cdots x^n),x^i \in \mathbb{R,i=1 \sim n} \}\) 这里我们把分量用上标表示,而下标表示一列点或者若干个向量。 线性运算 \(\alpha x = (\alpha x^1,\al 2023-02-20 #数学分析