一元多项式思考题
一元多项式 思考题
- \(a,b,c\in \mathbb{Z}\), 两两互异, \(P[x] \in \mathbb{Z}[x]\), 证明 \(P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a\) 不能同时成立。
Proof. 反设成立 注意到 \(a-b|P(a)-P(b)\) 因此有 \(a-b|b-c\) 同理可得
\[b-c|c-a ~~ c-a|a-b\]
于是\(a-b\leq b-c\leq c-a \leq a-b\) 矛盾,原命题成立。
- \(a,b,c \in \mathbb{Z},a,b,c \neq 0,\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \in\mathbb{Z},\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b} \in\mathbb{Z}\), 证明 \(|a|=|b|=|c|\)。
Proof. 考虑多项式\(P(x)=(x-\dfrac{a}{b})(x-\dfrac{b}{c})(x-\dfrac{c}{a})\)
展开后注意到\(P(x)\) 是一个首项为1的整系数多项式,那么它的有理解都是整数。
由三个分式的乘积为1,可得 \(|a|=|b|=|c|\)
- \(a,b,c,d,e,f \in\mathbb{Z}^+\) 令 \(s=a+b+c+d+e+f\) , \(s|abc+def\)且\(s|ab+bc+ca-de-df-ef\) 求证:\(s\) 为合数
Proof. 考虑 \(f(x)=(x+a)(x+b)(x+c)-(x-d)(x-e)(x-f)\)
注意到 \(s|f(x)\)
由\(f(d)=(d+a)(d+b)(d+c)\) 是\(s\) 的倍数,于是\(s\) 为合数
- 求所有\(f,g \in\mathbb{C}[x]\), 使得 \(f(f(x))-g(g(x))=1+i\),\(f(g(x))-g(f(x))=1-i\)
Proof.
若 \(f(x)=g(x)\) 有解
设\(f(\alpha)=g(\alpha)=\beta\) 于是有 \(f(\beta)-g(\beta)=1+i=1-i\) 矛盾
因此\(f(x)-g(x)=C\) 其中\(C\in \mathbb{C}\) 是一个常量。
将\(g(x)=f(x)-c\) 代回两式,得到
\[ f(f(x))-f(f(x)-c)+c=1+i\] \[ f(f(x)-c)-f(f(x))+c=1-i\]
因此\(c=1\)
因此\(f(x)-g(x)=1\)
记\(f(x)=y\) 注意到 \(f(y)-f(y-1)=i\) 因此 \(f(x)=ix+b\)
\(g(x)=ix+b-1\)
一元多项式思考题
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