高等代数II-2
在本章高等代数中,许多概念可以整数环来类比到多项式环上。
1. 带余除法
整数: \(a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\), 则 \(\exists !~ q,r \in \mathbb{Z}\) s.t. \(a = bq + r\) , \(0 \leq |r| < |b|\)
多项式:\(a,b \in \mathbb{F}[x], b \neq 0\), 则 \(\exists !~ q,r \in \mathbb{F}[x]\) s.t. \(a = bq + r\) , \(deg(r) < deg(b)\)
Proof.
存在性: \(f=0\) 时,显然成立。
\(Deg(f)<Deg(g)\) 时,取 \(q=0, r=f\),显然成立。
因此,我们设\(Deg(f)=n \geq Deg(g)\)
设\(f(x)=a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\),\(g(x)=b_m x^m + \cdots + b_1 x + b_0\),则
取\(q_1(x)=\frac{a_n}{b_m} x^{n-m}\),于是\(f_1 = f-q_1 g\) \(deg(f_1)\leq n\) 这样我们依次逼近,由第二数学归纳,即可证明。
唯一性:设 \(q_1,r_1\) 和 \(q_2,r_2\) 满足 \(f=q_1g+r_1\) 和 \(f=q_2g+r_2\),则
\[ f=gq_1+r_1 = gq_2 +r_2 \]
于是
\[g(q_1-q_2)=r_1-r_2\\ deg(r_1-r_2)\geq deg(g) \]
矛盾,于是唯一性成立。
这种方法我们称为辗转相除法。
接下来,我们考虑高斯整环。
\(\mathbb{Z}[i]=\{a+bi , a,b\in \mathbb{Z}\}\) 称为高斯整环。
下面,我们证明高斯整环上带余除法成立.
\[\forall u,v \in \mathbb{Z}[i], \exists !~ q,r, \in \mathbb{Z}[i] , u=vq+r~ 0 \leq |r| < |v|\]
Proof.
注意到 \(|r|=|u-vq|=|v||\dfrac{u}{v}-q|\)
我们只要 \(|v||\dfrac{u}{v}-q|<1\) 即可。
设\(\dfrac{u}{v}=c+di~~~c,d\in \mathbb{Q}\)
取 \(q=s+ti \in \mathbb{Z}[i]\) 且\(|c-s|\leq \frac{1}{2}, |d-t|\leq \frac{1}{2}\)
于是
\[|\dfrac{u}{v}-q|^2 = (c-s)^2 + (d-t)^2 <1\]
命题得证。
整除
Def. \(f,g \in \mathbb{F}[x]\), g整除f,记作\(g|f\),当且仅当存在 \(q \in \mathbb{F}[x]\) 使得 \(f=gq\).
若\(f=0\), \(g|0 \leftrightarrow 0=g\cdot 0\)
若\(g=0\) 则 \(g|f \leftrightarrow 0=f= 0\)
若 \(f|g,g|f\) 当且仅当 \(\exists c \in \mathbb{F}^* =\{\mathbb{F}\}\backslash \{0\} ,~f=cg\)
这时,我们称 \(f\) 和 \(g\) 相伴。