高等代数II-2

在本章高等代数中,许多概念可以整数环来类比到多项式环上。

1. 带余除法

整数: \(a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\), 则 \(\exists !~ q,r \in \mathbb{Z}\) s.t. \(a = bq + r\) , \(0 \leq |r| < |b|\)

多项式:\(a,b \in \mathbb{F}[x], b \neq 0\), 则 \(\exists !~ q,r \in \mathbb{F}[x]\) s.t. \(a = bq + r\) , \(deg(r) < deg(b)\)

Proof.

存在性: \(f=0\) 时,显然成立。

\(Deg(f)<Deg(g)\) 时,取 \(q=0, r=f\),显然成立。

因此,我们设\(Deg(f)=n \geq Deg(g)\)

\(f(x)=a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\)\(g(x)=b_m x^m + \cdots + b_1 x + b_0\),则

\(q_1(x)=\frac{a_n}{b_m} x^{n-m}\),于是\(f_1 = f-q_1 g\) \(deg(f_1)\leq n\) 这样我们依次逼近,由第二数学归纳,即可证明。

唯一性:设 \(q_1,r_1\)\(q_2,r_2\) 满足 \(f=q_1g+r_1\)\(f=q_2g+r_2\),则

\[ f=gq_1+r_1 = gq_2 +r_2 \]

于是

\[g(q_1-q_2)=r_1-r_2\\ deg(r_1-r_2)\geq deg(g) \]

矛盾,于是唯一性成立。

这种方法我们称为辗转相除法。

接下来,我们考虑高斯整环。

\(\mathbb{Z}[i]=\{a+bi , a,b\in \mathbb{Z}\}\) 称为高斯整环。

下面,我们证明高斯整环上带余除法成立.

\[\forall u,v \in \mathbb{Z}[i], \exists !~ q,r, \in \mathbb{Z}[i] , u=vq+r~ 0 \leq |r| < |v|\]

Proof.

注意到 \(|r|=|u-vq|=|v||\dfrac{u}{v}-q|\)

我们只要 \(|v||\dfrac{u}{v}-q|<1\) 即可。

\(\dfrac{u}{v}=c+di~~~c,d\in \mathbb{Q}\)

\(q=s+ti \in \mathbb{Z}[i]\)\(|c-s|\leq \frac{1}{2}, |d-t|\leq \frac{1}{2}\)

于是

\[|\dfrac{u}{v}-q|^2 = (c-s)^2 + (d-t)^2 <1\]

命题得证。

整除

Def. \(f,g \in \mathbb{F}[x]\), g整除f,记作\(g|f\),当且仅当存在 \(q \in \mathbb{F}[x]\) 使得 \(f=gq\).

\(f=0\), \(g|0 \leftrightarrow 0=g\cdot 0\)

\(g=0\)\(g|f \leftrightarrow 0=f= 0\)

\(f|g,g|f\) 当且仅当 \(\exists c \in \mathbb{F}^* =\{\mathbb{F}\}\backslash \{0\} ,~f=cg\)

这时,我们称 \(f\)\(g\) 相伴。


高等代数II-2
https://blogs.pixia.tech/2023/高等代数ii-2/
作者
Pixia
发布于
2023年2月23日
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