积分笔记 在假期难得有时间想起来整理笔记~ 积分 积分本质上,是衡量面积的方法,在遇到一个不规则图形时,我们应用逼近的思想去得到一个区域的面积就是积分。 我们学习的积分主要有Riemann积分和Darboux积分,他们在本质上是等价的。 考虑区域 \(A \sub \mathbb{R}^2\) , 我们把 \(m(A)\) 2023-01-08 #数学分析
数学分析笔记8 积分 Riemann积分 Riemaan积分是一种计算积分的方法 对于\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) 设\(a=x_0 < x_1 \cdots x_n =b\) 我们把\(p=\{x_0 \cdots x_n\}\) 称为 \([a,b]\) 的一个分化 设 \(f:[a,b] \to \mathbb{R} ~~; A \in \mathbb{R}\) 如果 \[\ 2022-12-09 #数学分析
数学分析笔记7 对近期所学再做一个整理 Taylor 展开 引子 若函数 \(f\) 有一阶导函数,那么函数在\(x_0\) 附近的函数可以这样估计: \[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + o(|x-x_0|) ~ x \to x_0\] 类似的,若函数存在\(n\)阶导函数,那么函数在\(x_0\) 附近的函数可以这样估计: \[Pn(x) = f(x_0) + f 2022-11-27 #数学分析
数学分析笔记6 由于前几天有考试,现在对上周所学做一个整理 基本初等函数公式的推导 三角函数 \[\begin{aligned} (\sin x)' &= \cos x \\ (\cos x)' &= -\sin x \\ \tan x &= \dfrac{1}{\cos^2 x} \end{aligned}\] 先证明第一个式子 \[\begin{aligned} \ 2022-11-21 #数学分析
数学分析笔记5 导数 Def 1. 设\(f : I \rightarrow \mathbb{R}\), \(I \subseteq \mathbb{R}\), \(x_0 \in I\), 若极限 \[\lim_{x\rightarrow x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\] 存在, 则称\(f\)在\(x_0\)点可导或可微, 称极限为\(f\)在\(x_0\)点的导数, 2022-11-14 #数学分析
数学分析笔记4 实数连通性 Theorem 1. 设 \(\mathbb{R}=U+V \quad U,V\)为互不相交的开集,则\(U= \varnothing\) 或 \(V=\varnothing\)。 Proof 1. 反证法 假设 \(U \neq \varnothing,~ V \neq \varnothing\)。 不妨设\(x_0 \in U,y_0\in V, ~ x_0<y_0\) 考虑 2022-11-09 #数学分析
数学分析笔记3 函数一致连续的性质 Def 1. 设\(f : E \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), 如果\(\forall \epsilon >0~ \exists ~\delta> 0 , \quad s.t.\) \(|f(x)-f(y)| < \epsilon, \forall x,y \in E,|x-y|< \delta\ 2022-11-04 #数学分析
另一道数论题 习题6.2 14 Problem: 设\(p\)是奇素数。 试求集合 \(\{1,2,\cdots ,p-2\}\) 中使得\(n\)与\(n+1\)均是\(p\)的二次剩余的元素\(n\)的个数。 证明:当 \(p \geq 7\) 时,必有两个相邻的整数皆为模\(p\)的二次剩余。 Remark: 第一题由Legendre Symbol 可以显然用式子 \[N=\dfrac{1}{4}\s 2022-11-02 #数论初步
数学分析笔记2 连续函数的整体刻画 Def 1. 设 \(E\subset \mathbb{R},E \neq \varnothing,A \subset E\) 若 \(\exists~ 开集 ~U \subset \mathbb{R}, ~ s.t. ~A = E \cap U\) ,则称\(A\)是\(E\)的一个相对开集。 Theorem 2. 设\(E \subset R , E \neq \varno 2022-11-02 #数学分析