数学分析II-1
n维欧氏空间里的基本概念
- 线性运算
- 内积,长度,夹角
- 平行四边形的面积,平行多面体的体积
- 两点的距离
n维空间
\(\mathbb{R}^n = \{ x=(x^1 ,x^2 \cdots x^n),x^i \in \mathbb{R,i=1 \sim n} \}\)
这里我们把分量用上标表示,而下标表示一列点或者若干个向量。
线性运算
\(\alpha x = (\alpha x^1,\alpha x^2 \cdots \alpha x^n)\)
\(\alpha x + \beta y = (\alpha x^1 + \beta y^1,\alpha x^2 + \beta y^2 \cdots \alpha x^n + \beta y^n)\)
我们把\(\{ \mathbb{R}^n,+ ,\cdot \}\) 叫做线性空间。
Remark: \(\mathrm{dim} \{ R^n , +, \cdot\}=n\)
其中 \(e_1 =(1,0\cdots,0) ,\cdots e_n =(0,0\cdots,1)\) 是它的一组基。
线性相关
\(\forall x,y \in \mathbb{R}^n\) 若 \(\exists \alpha,\beta \in \mathbb{R}\) 使得 \(\alpha x + \beta y = 0,\alpha^2 +\beta^2 \neq 0\) 则称\(x,y\)线性相关。
Remark: - \(\mathrm{dim} \{ R^n , +, \cdot\}=n\) 与 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 线性相关等价。 - 线性相关具有对称性,自反性但不具有传递性。反例:0向量
平行
和线性相关类似,
设 \(x,y\neq 0\),若 \(\exists k\in \mathbb{R}^*, y=kx\),则称\(x,y\)平行。
\(k>0\) 称 同向平行,\(k<0\) 称反向平行。
内积
\(\forall x,y \in \mathbb{R}^n\) 定义内积为
\[ \langle x,y \rangle = x^1 y^1 + x^2 y^2 + \cdots + x^n y^n \]
内积有三条性质
- \(\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle\)
- \(\langle x\cdot x \rangle \geq 0\)
- \(\langle x,(y+z) \rangle = \langle x,y \rangle + \langle x,z \rangle\)
Remark: 我们把这叫做内积空间
向量的模
模,又叫长度,2-范数,定义为\(\mid x \mid =\sqrt{x\cdot x}\)
满足下面性质:
- \(\mid x \mid \geq 0\)
- \(\mid x \mid = 0 \Leftrightarrow x=0\)
- \(\mid \alpha x \mid = |\alpha| \mid x \mid\)
- \(\mid x+y \mid \leq \mid x \mid + \mid y \mid\)
Remark: 我们把这叫做线性赋范空间。
Theorem 1. Cauthy Inequality
\[\mid xy \mid \leq \mid x \mid \mid y \mid\]
等号成立当且仅当\(x,y\)线性相关。
Proof. 考虑 \(\dfrac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (x^i y^j + x^j y^i)^2\)
显然,上式大于等于0,将它展开后我们得到
\[ \begin{aligned} LEQ &= \dfrac{1}{2}\sum_i \sum_j( (x^i)^2(y^j)^2 +(x^j)^2 (y^i)^2 + 2 (x^i)(y^i) (x^j)(y^j) \\ &= \dfrac{1}{2}(2|x|^2|y|^2- 2(x\cdot y)^2)\\ &=|x|^2 |y|^2 -(x\cdot y)^2 \geq 0 \end{aligned} \]
Theorem 2. 三角不等式
\[\mid x+y \mid \leq \mid x \mid + \mid y \mid\]
Proof. 由Cauchy不等式可知, \(\mid x+y \mid^2 = \mid x \mid^2 + \mid y \mid^2 + 2(x\cdot y) \leq \mid x \mid^2 + \mid y \mid^2 + 2\mid x \mid \mid y \mid \leq (\mid x \mid + \mid y \mid)^2\)
夹角
设 \(x,y \in \mathbb{R}^n, \theta =[0,\pi]\)
若\(x\cdot y = \mid x \mid \mid y \mid \cdot \cos \theta\)
则称\(\theta\)为\(x,y\)的夹角。
特殊地,若\(x\cdot y = 0\),则称\(x,y\)正交。
Remark: 由Cauchy不等式可知,\(\mid x \mid \mid y \mid \cos \theta = x\cdot y \leq \mid x \mid \mid y \mid\)
平行四边形的面积
设\(x,y \in \mathbb{R}^n, x,y\) 线性独立,顶点\(a\in \mathbb{R}^n\)
定义\(P =\{a+sx+ty; s,t\in(0,1) \}\)
则\(P\)是以\(a\)为顶点,以\(x,y\)为邻边的平行四边形,面积为\(\mid x \mid \mid y \mid \sin \theta\)
S(P) = \(\mid x \mid \mid y \mid \sin \theta\) = \(\sqrt{\mid x\mid^2 \mid y \mid^2 -(x\cdot y)^2}\)
多面体的体积
设\(x_1 \cdots x_n \in \mathbb{R}^n, ~ \mathbb{R}^n = span\{ x_1 \cdots x_n\} ~ a\in \mathbb{R}^N\)
定义\(Q= \{a+sx_1+tx_2+\cdots+ux_n; s,t,\cdots,u\in(0,1) \}\)
则\(Q\)是以\(a\)为顶点,以\(x_1,\cdots,x_n\)为邻边的多面体,体积为\(\sqrt{det(x_i \cdot x_j)_{n\times n}}\)
n维空间下的平移伸缩变换
\(A\subset \mathbb{R}^n~ a+A=\{a+x,x \in A\}\\kA=\{kx,x\in A\}, k\neq 0\)
则称\(a\)为平移变换,k为伸缩变换。
Remark: \(S(b+p)=S(p),S(kP)=k^2S(p)\)
\(V(b+Q)=V(Q),V(kQ)=\mid k \mid^n V(Q)~ k\neq 0\)
距离
定义 \(d(x,y)=|x-y|,x,y\in \mathbb{R}^n\)
距离满足三条性质
- \(d(x,y)\geq 0\) 等号成立时,\(x=y\)
- \(d(x,y)=d(y,x)\)
- \(d(x,z)+d(z,y)\geq d(x,y)\)
我们把这个空间叫做度量空间。