高等代数II-1

一元多项式环

\(R \neq \emptyset\) 同时\(R\)上定义加法,乘法

若满足以下规律:

  1. \(R\) 上的加法构成一个Abel群
  2. \(R\) 对乘法满足结合律
  3. \(R\) 满足分配律

我们称 \(R\) 是一个环

整环 (Integral Domain) 环\(R\)满足一下性质:

  1. \(ab=ba \forall a,b \in R\) (交换环)(Commutative Ring)
  2. 有单位元 \(\exists e \in R\) 使得 \(ae=a=ea \forall a \in R\) (单位环)
  3. 有逆元 \(\forall a \neq 0 \in R\)\(\exists b \in R\) 使得 \(ab=ba=1\)
  4. 无零因子 \(\forall a\neq 0,b \neq 0 \rightarrow ab \neq 0\)

Remark: 下面给出一些例子

  1. \(\mathbb{Z}\) 整数环 整数环是一个整环,

  2. \(\mathbb{Z}_m\)\(m\) 剩余类环,其中当\(m\) 为合数时, 环有零因子

  3. \(2\mathbb{Z}=\){全体偶数}, 无单位元。

  4. \(R=\mathbb{F}^{n\times n}\) 定义在\(F\times F\)上的全体矩阵,有零因子。

一元多项式环

多项式(Polynomial)

在数域\(\mathbb{F}\) 上,取\(n \in \mathbb{Z}^+\),取\(a_0,a_1 \cdots a_ n \in \mathbb{F}\)

我们把形式表达式\(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\) 称为多项式,其中\(x\) 称为未定元\(a_0,a_1 \cdots a_ n\) 称为系数

一些概念:

首项 \(a_n \neq 0,a_n x^n\) 称为首项

零多项式 所有系数全为0的多项式

次数

\(f\neq 0\) 定义 \(Deg (f)= n,a_n \neq 0,a_{n+k}=0\)

\(f =0\) 定义 \(Deg (f)= -\infty\)

多项式运算:

加法: \(f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\) , \(g(x)=\sum_{i=0}^n b_ix^i\)

\(f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^n (a_i+b_i)x^i\)

性质: 1. \(f(x)+g(x)=g(x)+f(x)\) 2. \((f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))\) 3. \(f(x)+0=f(x)\) 4. \(f(x)+(-f(x))=0\)

乘法: \[f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i , g(x)=\sum_{i=0}^m b_ix^i\]

\(f(x)g(x)=\sum_{k=0}^{n+m} c_kx^k\)

其中 \[c_k=\sum_{i+j=k\atop 0\leq i \leq n, 0\leq j \leq m}a_ib_j\]

性质:

  1. \(f(x)g(x)=g(x)f(x)\)
  2. \((f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))\)
  3. \(1\cdot f(x)=f(x)\)
  4. \(f(x)h(x)=g(x)h(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x)\)
  5. \(f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)\)

Def. 一元多项式环

定义 \(F[x]:=\{c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_nx^n,c_i \in \mathbb{F}, n \in \mathbb{Z}^+ \}\)

容易发现\(F[x]\) 是一个整环。

次数的性质:

  1. \(Deg(f(x)+g(x))\leq max(Deg(f(x)),Deg(g(x)))\)
  2. \(Deg(f(x)g(x))=Deg(f(x))+Deg(g(x))\)

高等代数II-1
https://blogs.pixia.tech/2023/高等代数ii-1/
作者
Pixia
发布于
2023年2月20日
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