高等代数II-4
不可约多项式和因式分解唯一性定理
不可约多项式(类比素数):
\(P(x)\in \mathbb{F}[x], \deg P \geq 1\) 则称 \(P(x)\) 为不可约多项式当且仅当\(P\) 不能分解为两个次数更低的多项式的乘积.
性质1: 一个不可约多项式\(p\)的因子只能为 \(c\) 或 \(cp\) .
Remark: 一个多项式是否可约是和数域相关的.
性质2: 假设\(p(x)\) 不可约, 则 \(\forall f,g, 若 p|fg\) 则 \(p|f\) 或 \(p|g\)
因式分解的唯一性定理:
Thm. 任何一个次数\(\geq 1\) 的多项式可唯一分解为一些不可约多项式的乘积.
Proof. 存在性: 对 \(\deg f\) 用数学归纳法即可。
唯一性: 依次类推即可。
我们把具有这种性质的叫做 Unique Factorization Domain (UFD).
Cor. 这样的分解类似于整数,有标准因式分解:
\[ f(x) = a_n\prod_{i=1}^n (p_i(x))^{e_i} \]
其中\(f(x)\) 都是首1的不可约多项式
重因式: 设 \(p(x)\)是不可约多项式, 则\(p(x)\) 是 \(f(x)\) 的\(k\) 重因式当且仅当 \(p^k || f\).
形式导数 设 \(f(x)\) 是一个多项式, 则 \(f'(x)\) 是 \(f(x)\) 的形式导数, 定义为:
\[ f'(x) = \sum_{i=1}^n i a_ix^{i-1} \]
Theorem. 若\(p(x)\) 是\(f(x)\) 的\(k\) 重因式,则\(p(x)\) 是\(f'(x)\) 的 \(k-1\) 重因式.
Cor. \(p(x)\) 是\(f(x)\) 的\(k\) 重因式当且仅当\(p\) 是\(f,f',\cdots f^{k-1}\) 的因式,但不是 \(f^k\) 的因式。
判断f是否含有重因式 \(f\) 不含重因式 \(\iff\) \((f,f')=1\)