高等代数II-4

不可约多项式和因式分解唯一性定理

不可约多项式(类比素数):

\(P(x)\in \mathbb{F}[x], \deg P \geq 1\) 则称 \(P(x)\) 为不可约多项式当且仅当\(P\) 不能分解为两个次数更低的多项式的乘积.

性质1: 一个不可约多项式\(p\)的因子只能为 \(c\)\(cp\) .

Remark: 一个多项式是否可约是和数域相关的.

性质2: 假设\(p(x)\) 不可约, 则 \(\forall f,g, 若 p|fg\)\(p|f\)\(p|g\)

因式分解的唯一性定理:

Thm. 任何一个次数\(\geq 1\) 的多项式可唯一分解为一些不可约多项式的乘积.

Proof. 存在性: 对 \(\deg f\) 用数学归纳法即可。

唯一性: 依次类推即可。

我们把具有这种性质的叫做 Unique Factorization Domain (UFD).

Cor. 这样的分解类似于整数,有标准因式分解:

\[ f(x) = a_n\prod_{i=1}^n (p_i(x))^{e_i} \]

其中\(f(x)\) 都是首1的不可约多项式

重因式:\(p(x)\)是不可约多项式, 则\(p(x)\)\(f(x)\)\(k\) 重因式当且仅当 \(p^k || f\).

形式导数\(f(x)\) 是一个多项式, 则 \(f'(x)\)\(f(x)\) 的形式导数, 定义为:

\[ f'(x) = \sum_{i=1}^n i a_ix^{i-1} \]

Theorem. 若\(p(x)\)\(f(x)\)\(k\) 重因式,则\(p(x)\)\(f'(x)\)\(k-1\) 重因式.

Cor. \(p(x)\)\(f(x)\)\(k\) 重因式当且仅当\(p\)\(f,f',\cdots f^{k-1}\) 的因式,但不是 \(f^k\) 的因式。

判断f是否含有重因式 \(f\) 不含重因式 \(\iff\) \((f,f')=1\)


高等代数II-4
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作者
Pixia
发布于
2023年2月27日
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