数学分析II-5
本节主要讨论了集合的紧性.
闭集套定理
定理1. 设 \(F_k \subset \mathbb{R}^n\) 为非空闭集,\(k=1,2 \cdots\)
若 1. \(~~F_{k+1}\subset F_{k}\)
- \(\mathrm{diam} ~ F_k \to 0\)
则有 \(\bigcap_{i=1}^{+\infty}F_k =\{x_0\}\)
Proof. 我们首先证明 \(\bigcap_{i=1}^{+\infty}F_k \neq \varnothing\)
由于 \(x_{k+m} \in F_k ,~\forall m \in N^*\)
因此 \(|x_{k+m}-x_k| \leq \mathrm{diam} ~ F_k \to 0\)
于是 \(x_k\) 是 Cauthy 列.
设 \(x_k \to x_0, k\to +\infty\) 又 \(x_{k+m} \in F_k, x_{k+m} \to x_0\)
因此 \(x_0 \in F_k, x_0\in \bigcap_{i=1}^{+\infty} F_k\)
接下来,我们再证明 \(\bigcap_{i=1}^{+\infty}F_k\) 是单点集.
设 \(x_0,y_0 \in \bigcap_{i=1}^{+\infty}F_k\)
则 \(d(x_0,y_0) \leq \mathrm{diam} ~ F_k \to 0\)
因此 \(x_0=y_0\).
n维欧氏空间的紧性
定义1. 有界集: 设\(A \in \mathbb{R}^n\) 若 \(\exists\) 开球 \(B_R \subset \mathbb{R}^n\) s.t. \(A \subset B_R\) 则称 \(A\) 有界.
定义2. 紧集
我们把 \(2^{R^n}\) 定义为 \(R^n\) 的所有子集构成的集合. 设 \(U \subset 2^{R^n}, U \neq \varnothing,A \subset \mathbb{R}^n\)
若 \(A \subset \bigcup_{S \in U} S\) ,我们称 \(U\) 覆盖 \(A\). 若 \(\forall S \in U\), \(S\) 是开集,则 \(U\) 是开覆盖.
若 \(A \subset \mathbb{R}^n\) 满足: \(\forall U \subset 2^{R^n}\) \(U\) 是 \(A\) 的开覆盖, 有
\(~\exists u_1 \cdots u_m \in U, m \in N^*\) s.t. \(\{u_1,\cdots u_m\}\) 覆盖 \(A\), 则 \(A\) 是紧集.
定义3. 自列紧集
设\(A \subset \mathbb{R}^n\) 满足: 若 \(x_k \in A,k=1,2\cdots\)
则 \(\exists ~子列 ~x_{k_i}\) s.t. \(x_{k_i} \to a \in A\) 则称 \(A\) 是自列紧集.
定义4. Frechet 紧集
设 \(A \subset \mathbb{R}^n\) 满足: 若 \(B \subset A\) 是无限集, 则 \(B\) 有聚点 \(a \in A\) 则称 \(A\) 是 Frechet 紧集.
Theorem. 设 \(A\subset \mathbb{R}^n\) 则下面四个叙述等价:
\(A\) 是有界闭集
\(A\) 是紧集
\(A\) 是自列紧集
\(A\) 是 Frechet 紧集
Proof.
a \(\Rightarrow\) b
若 \(I_i=[a_i,b_i]~,~ Q=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]\) 我们把\(Q\) 称作闭方体.
Claim. 立方体是紧集.
设 \(U\) 是 \(Q\) 的开覆盖, 我们只要证 \(Q\) 可以被 \(U\) 有限覆盖.
反设不能,对 \(Q\) 进行二分, 则 \(\exists\) \(Q\) 的一个二进方体 \(Q_1\) 不能被 \(U\) 有限覆盖.
类似地,我们可以取出 \(Q_1,Q_2,Q_3\cdots\) 注意到:
- \(Q_k\) 不能被有限覆盖
- \(\mathrm{diam} ~Q_k \to 0\)
- \(Q_{k+1}\subset Q_k\)
由闭集套定理: \(\bigcap_{i=1}^{+\infty}Q_k =\{x_0\}\)
于是 \(\exists \epsilon >0\) s.t. \(B_{\epsilon}(x_0) \subset S\) , \(S\) 是 \(U\) 中的开集.
而 \(\exists N\) s.t. \(2^{-N} \mathrm{diam} ~Q < \epsilon\) 于是 \(Q_N \subset B_\epsilon(x_0)\subset S\) 矛盾.
因此, 立方体是紧集.
设 \(A\) 是有界闭集, \(U\) 是它的一个开覆盖.
由于 \(A\) 有界 \(\exists R>0\) s.t. \(A \subset B_R\)
取 \(Q=[-R,R]^n\) 是 \(B_R\)的外切闭立方体.
则 \(U \bigcup \{A^C\}\)覆盖\(Q\).
因此设 \(U_1, U_2\cdots U_m,A^C\) 覆盖 \(Q\).
于是 \(A\subset \{U_1 \cdots U_m\}\).
因此 \(A\) 是紧集.
b \(\Rightarrow\) c
设 \(A\) 是紧集, \(x_k \in A, k=1,2\cdots\)
反设 \(\forall a \in A\) 都不是 \(\{x_k\}\) 的某个子列的极限.
则存在 一个以 \(a\) 为心的开球 \(B(a)\) s.t. \(\exists N_a \in N^*,x_k \notin B(a),k > N_a\)
又 \(\{B(a),a \in A\}\) 是 \(A\) 的开覆盖.
于是存在 \(\bigcup_{i=1}^m B(a_i)\) 覆盖 \(A\).
取\(n=\max\{N_{a_1}\cdots N_{a_m}\}\), 当\(k> n\) 时,\(x_k \notin a\)矛盾.
因此 \(A\) 是自列紧集.
c \(\Rightarrow\) d
设 \(A\) 是自列紧集, \(B \subset A\) 是无限集, \(\exists x_k \in B, k=1,2\cdots,x_i \neq x_j,\forall i\neq j\)
由于 \(A\) 自列紧, \(\exists\) 子列 \(x_{k_i}\) s.t. \(x_{k_i} \to a \in A\)
设 \(\epsilon >0\) 则 \(\exists N \in N^*\) s.t. \(d(x_{k_i},a) < \epsilon, i > N\) 则 \(x_{k_i} \in B_\epsilon(a)\)
又数列中两两不等, \(B_\epsilon(a)\) 中有 \(B\) 的无限个点.
因此 \(B\) 有聚点 \(a \in A\).
d \(\Rightarrow\) a
显然\(A\) 有界,下证 \(A\) 是闭集.
由于 \(A\) 是 Frechet 紧集, \(\forall x_k \in A,k=1,2\cdots\) 则 \(a\) 是 \(\{x_k\}\) 的聚点
若 \(x_k\) 收敛, 则 \(a\) 是 \(\{x_k\}\) 的极限点.
因此 \(A\) 对极限运算封闭,即 \(A\) 是闭集.