数学分析II-6
集合的紧性
下面证明 Frechet 紧集是有界闭集.
设 \(x_i \in A,~ i=1,2\cdots~ x_i \to x_0\)
我们需证\(x_0 \in A\).
设 \(x_0 \notin A\).
令 \(B=\{x_k,~k=1,2\cdots\}\) 显然\(B\)为无限集,且\(B\)在\(A\)中无聚点。
设\(x_0\) 是\(A\) 的聚点,且\(\forall a \in A\), \(a\) 不是\(B\)的聚点。
因此, \(d(x_0,a)>0\)
且 \(\exists N , s.t. ~x_k \in B_{r/3}(x_0),~ k>n\)
于是 \(\exists N , s.t. ~x_k \notin B_{r/3}(a),~ k>n\)
此时 令 \(d=\min\{d(x_k,a), k=1\sim N\},x_k \neq a\)
取 \(\epsilon=\min\{d,r/3\}\) 则
\(x_k \notin B_\epsilon (a)\backslash \{a\}\) 这和它是Frechet 紧集矛盾.
紧集套定理
设 \(K_i \subset \mathbb{R}^n\) 为非空紧集, \(K_{i+1}\subset K_i,~ i=1,2\cdots\)
则\(\bigcap_{i=1}^{\infty} K_i\neq \varnothing\)
Proof. 反设 \(\bigcap_{i=1}^{\infty} K_i=\varnothing\)
于是 \(\bigcup_{i=1}^{\infty} K_i^c=\mathbb{R}^n\)
因此 \(K_1 \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} K_i^c\)
由紧集定义 \(K_1 \subset \bigcup_{i=1}^n K_{k_i}^C\)
设 \(N=\max\{k_i, i=1\sim n\}\) 于是 \(K_1 \subset K_N^c\)
又\(K_N =K_1 \bigcap K_N =\varnothing\) 矛盾.
多元函数的极限
设 \(f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, ~ f =(f^1, \cdots f^m)\), \(f\) 是多元向量值函数
其中 \(f^i: D \to \mathbb{R},~ i=1,2\cdots m\) 是数值函数
定义1. 设 \(f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m,~ x_0 \in \mathbb{R}^n\) 是 \(D\) 的聚点, 如果存在\(a\in \mathbb{R}^m\) 满足:
\[ \forall \epsilon >0, \exists \delta >0, s.t.~ |f(x)-a| < \epsilon,~ \forall x \in D\bigcap(B_\delta(x_0)\backslash\{x_0\}) \]
称 \(f\) 在 \(x_0\) 有极限 \(a\), 且记为 \(f(x_0)=a\)
多元函数的归结原理
命题1. 设 \(f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m,~ x_0 \in \mathbb{R}^n\) 是 \(D\) 的聚点
- 如果 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=a \in \mathbb{R}^m,~x_k \in D \backslash\{x_0\},k=1,2\cdots,x_k \to x_0\)
则 \(f(x_k)\to a\)
- 如果对于任意点列\(\{x_k\}\), \(x_k \in D \backslash\{x_0\},x_k \to x_0\) 且点列 \(f(x_k)\) 都收敛,则 \(f\) 在 \(x_0\) 有极限
Proof2.
设 \(a_k \in D \backslash \{x_0\},a_k \to x_0, f(a_k) \to y_0\)
下面证 \(y_0=\lim_{x\to x_0} f(x)\)
反证 \(f(x)\) 不趋近于 \(y\) 即
\[\exists \epsilon >0, s.t.~ \forall \delta >0, \exists x \in D\bigcap(B_\delta(x_0)\backslash\{x_0\}),~ |f(x)-y_0|>\epsilon \]
取 \(\delta =\dfrac{1}{i},i=1,2\cdots,~ b_i \in d \bigcap (B_{1/i}(x_0)\backslash\{x_0\})\), 且 \(|f(b_i)-y_0|> \epsilon\)
因此 \(b_i \to x_0\), 但 \(f(b_i)\) 不趋近于 \(y_0\).
构造 \(c_i , c_{2i-1}=a_i, c_{2i}=b_i\) 则 \(f(c_i)\) 无极限,矛盾.
函数极限的性质:
- 有界性
设 \(f: D\to \mathbb{R}^n\), 若 \(\exists M \in \mathbb{R}\) s.t. \(\forall x \in D,~ |f(x)| \leq M\), 则称\(f\) 有界.
极限的有界性:
设 \(f: D \to \mathbb{R}^n,~ x_0 \in D\) 是聚点, 若 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=a \in \mathbb{R}^n\)
则 \(\exists \epsilon >0\) s.t. \(f\) 在 \(D \bigcap B_\epsilon (x_0)\) 上有界.
- Cauchy 收敛原理 设 \(f: D \to \mathbb{R}^n,~ x_0 \in D\) 是聚点$ 则
\(f\) 在 \(x_0\) 有极限 当且仅当
\[\forall \epsilon >0, \exists \delta >0, s.t.~ |f(x)-f(y)|<\epsilon,~ \forall x,y \in D\bigcap(B_\delta(x_0)\backslash\{x_0\})\]
- 四则运算
设 \(f,g: D \to \mathbb{R}^n,h: D \to \mathbb{R}~ x_0 \in D\) 是聚点,
\[a=\lim_{x\to x_0} f(x),~ b=\lim_{x\to x_0} g(x),~ c=\lim_{x\to x_0}h(x)\]
则有
- \[\lim_{x\to x_0} (\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha a+\beta b\]
- \[\lim_{x\to x_0} (f\cdot g)(x)=a\cdot b ~~\text{内积}\]
- \[\lim_{x\to x_0} hf(x)=c\cdot a ~~\text{数乘}\]
- \[\text{若} h(x)\neq 0, c\neq 0 \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{h(x)}=\frac{a}{c}\]