高等代数II-5
代数基本定理
复数域上一个\(n\) 次多项式恰有\(n\) 个根,包括重根.
Thm.\(f(x) \in \mathbb{R}[x]\), 若 \(\alpha=a+bi\) 是 \(f(x)=0\) 的一个复根,则 \(\bar{\alpha}=a-bi\) 也是 \(f(x)=0\) 的一个复根.
Thm. 实数域上的一个\(n\) 次多项式可以分解为一些一次因式和二次因式的乘积.
有理数域上的不可约多项式
本原多项式
若 \(f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\in \mathbb{Z}[x]\) 且 \(\gcd(a_0,a_1 \cdots a_n)=1\)
任意有理式都可以由一个本原多项式的 \(r\) 倍表出.
Gauss引理 两个本原多项式的积仍是本原多项式
Thm. 若 \(f(x)\in \mathbb{Z}[x]\) 可以分解为两个次数较低的有理多项式的积,则 \(f(x)\) 可以分解为两个次数较低的整系数多项式的积
有理根定理. 设 \(f(x)=a_nx^n +\cdots a_1x+a_0 \in \mathbb{Z}[x]\) 有有理根\(\dfrac{r}{s}\)
则 \(r|a_0,s|a_n\)
爱因斯坦因判别法. 给定\(f(x)=a_nx^n +\cdots a_1x+a_0 \in \mathbb{Z}[x]\)
若\(\exists p\) 是素数,使得
- \(p\nmid a_n\)
- \(p|a_i, ~\forall i =0\sim n-1\)
- \(p\nmid a_0^2\)
则 \(f(x)\) 是有理数域上的不可约多项式
高等代数II-5
https://blogs.pixia.tech/2023/高等代数ii-5/