数学分析II-4

本节主要讨论了以下内容

  • 开集,闭集
  • 内部,闭包
  • 边界
  • 内点,边界点,聚点

开集与闭集

命题4.\(A \subset \mathbb{R}^n\) 既开又闭,则\(A= \varnothing\)\(\mathbb{R}^n\)

Proof. 反设\(A \neq \mathbb{R}^n, \varnothing\) . 设\(x_0 \in A\),记 \(r=d(x_0 , A^C) = \inf\{x-x_0,x \in A^C \}\)

  1. 由于\(A\) 是开集,因此\(r>0\)
  2. 我们可以证明 \(\exists Y_k \in A^C ,|Y_k -x_0| \to r\)

证明: 显然 \(Y_k\) 有界,因此有界点列必有收敛子列,设 \(Y_{k_i} \to Y_0 \in A^C\),由于\(A\) 是开集,因此\(Y_0 \in A^C\),因此\(|Y_0 -x_0| \to r\)

  1. 我们只要证明 \(\exists Z_0 \in A^C, s.t. |Z_0 -x_0| < |Y_0-x_0|\) 即可得出矛盾。

证明: 由于\(A^C\) 是开集,因此\(\exists \epsilon ~, ~B_\epsilon(Y_0) \subset A^C\) 由于\(x_0 \notin B_\epsilon(Y_0)\)\(z_0 = Y_0 +\dfrac{x_0-Y_0}{|x_0-Y_0|}\cdot \dfrac{\epsilon}{2}\) 即可.

内部与闭包

Def.

\(A \subset \mathbb{R}^n\),记 \(\mathcal{F}= \{F \subset \mathbb{R}^n, A\subset F , F 为闭集\}\) , \(\mathcal{G} = \{G \subset \mathbb{R}^n , G \subset A,G 为开集\}\) 我们把 \(\bar{A}= \bigcap_{F \in \mathcal{F}} F\) 称为\(A\) 的闭包,把 \({A}^{o} = \bigcup_{G \in \mathcal{G}} G\) 称为\(A\) 的内部.

Remark. \(\bar{A}\) 就是包含\(A\) 的最小闭集,\({A}^{o}\) 就是包含于\(A\) 的最大开集.

命题5.\(A \subset \mathbb{R}^n\)\(\bar{A}=A\) 当且仅当\(A\) 是闭集, \({A}^{o} = A\) 当且仅当\(A\) 是开集.

命题6.\(A \subset \mathbb{R}^n\),则\((\bar{A})^C= (A^C)^o\) , \((A^o)^C = \bar{A^C}\)

Proof.\(F\in \mathcal{F}\) , 则\(F^C \in \mathcal{G}\),

因此 \((\bar{A})^C= (\bigcup_{F \in \mathcal{F}} F)^C = \bigcap_{F\in \mathcal{F}} F^C = \bigcap_{F^C\in \mathcal{G}} F^C = (A^C)^o\)

同理可证 \((A^o)^C = \bar{A^C}\)

Remark. 这说明集合的内部和闭包是对偶的概念.

命题7. 集合的闭包也可以用点列的极限来定义.

\(A \subset \mathbb{R}^n\)\(\bar{A}=\{x\in \mathbb{R}^n, \exists x_k \in A, k =1,2\cdots ~x_k \to x\}\)

Proof.先证明 \(A \subset\) 右边的集合.

我们先证明 \(\forall x \in \bar{A}, \forall \epsilon >0, B_\epsilon(x) \bigcap A \neq \varnothing\)

反设不相交, \(A \subset (B_\epsilon (x))^C\) 由于\((B_\epsilon(x))^C\) 是闭集, \(\bar{A} \subset (B_\epsilon (x))^C\) 这与 \(\bar{A} \subset A\) 矛盾.

接下来,我们取 \(\epsilon= \dfrac{1}{k},x_k \in B_{\frac{1}{k}}(x)\bigcap A\)\(x_k \in A , ~ x_k \to x\)

由于 闭集对极限运算封闭,右边\(\subset\) A 也成立.

边界

\(A \subset \mathbb{R}^n\),我们记 \(\partial A = \bar{A}-A^o\) 称为\(A\) 的边界.

Remark. 我们可以容易得出\(\partial A =\partial A^C\).

内点,边界点,聚点

\(x\in A^o\), \(x\)\(A\) 的内点.

\(x\in \partial A\), \(x\)\(A\) 的边界点.

\(\forall \epsilon>0 , A \bigcap\{ B_\epsilon(x)\backslash x\} \neq \varnothing\), \(x\)\(A\) 的聚点.

内点 边界点 聚点
内点 - 一定不是 一定是
边界点 一定不是 - 不一定是
聚点 不一定是 不一定是 -

命题8.\(A\subset \mathbb{R}^n\)\(x\)\(A\) 的内点当且仅当 \(\exists x_k \in A,k=1,2\cdots x_k \to x,x_k \neq x\)

\(x\)\(A\) 的边界点当且仅当\(\exists x_k \in A, y_k \in A^C,x_k \to x,y_k \to x\)

Remark. 这说明内点,边界点可以用极限刻画


数学分析II-4
https://blogs.pixia.tech/2023/数学分析ii-4/
作者
Pixia
发布于
2023年2月27日
许可协议