数学分析II-4
本节主要讨论了以下内容
- 开集,闭集
- 内部,闭包
- 边界
- 内点,边界点,聚点
开集与闭集
命题4. 设\(A \subset \mathbb{R}^n\) 既开又闭,则\(A= \varnothing\) 或 \(\mathbb{R}^n\)
Proof. 反设\(A \neq \mathbb{R}^n, \varnothing\) . 设\(x_0 \in A\),记 \(r=d(x_0 , A^C) = \inf\{x-x_0,x \in A^C \}\)
- 由于\(A\) 是开集,因此\(r>0\)
- 我们可以证明 \(\exists Y_k \in A^C ,|Y_k -x_0| \to r\)
证明: 显然 \(Y_k\) 有界,因此有界点列必有收敛子列,设 \(Y_{k_i} \to Y_0 \in A^C\),由于\(A\) 是开集,因此\(Y_0 \in A^C\),因此\(|Y_0 -x_0| \to r\)
- 我们只要证明 \(\exists Z_0 \in A^C, s.t. |Z_0 -x_0| < |Y_0-x_0|\) 即可得出矛盾。
证明: 由于\(A^C\) 是开集,因此\(\exists \epsilon ~, ~B_\epsilon(Y_0) \subset A^C\) 由于\(x_0 \notin B_\epsilon(Y_0)\) 取\(z_0 = Y_0 +\dfrac{x_0-Y_0}{|x_0-Y_0|}\cdot \dfrac{\epsilon}{2}\) 即可.
内部与闭包
Def.
设\(A \subset \mathbb{R}^n\),记 \(\mathcal{F}= \{F \subset \mathbb{R}^n, A\subset F , F 为闭集\}\) , \(\mathcal{G} = \{G \subset \mathbb{R}^n , G \subset A,G 为开集\}\) 我们把 \(\bar{A}= \bigcap_{F \in \mathcal{F}} F\) 称为\(A\) 的闭包,把 \({A}^{o} = \bigcup_{G \in \mathcal{G}} G\) 称为\(A\) 的内部.
Remark. \(\bar{A}\) 就是包含\(A\) 的最小闭集,\({A}^{o}\) 就是包含于\(A\) 的最大开集.
命题5. 设\(A \subset \mathbb{R}^n\),\(\bar{A}=A\) 当且仅当\(A\) 是闭集, \({A}^{o} = A\) 当且仅当\(A\) 是开集.
命题6. 设\(A \subset \mathbb{R}^n\),则\((\bar{A})^C= (A^C)^o\) , \((A^o)^C = \bar{A^C}\)
Proof. 若 \(F\in \mathcal{F}\) , 则\(F^C \in \mathcal{G}\),
因此 \((\bar{A})^C= (\bigcup_{F \in \mathcal{F}} F)^C = \bigcap_{F\in \mathcal{F}} F^C = \bigcap_{F^C\in \mathcal{G}} F^C = (A^C)^o\)
同理可证 \((A^o)^C = \bar{A^C}\)
Remark. 这说明集合的内部和闭包是对偶的概念.
命题7. 集合的闭包也可以用点列的极限来定义.
设\(A \subset \mathbb{R}^n\) 则\(\bar{A}=\{x\in \mathbb{R}^n, \exists x_k \in A, k =1,2\cdots ~x_k \to x\}\)
Proof.先证明 \(A \subset\) 右边的集合.
我们先证明 \(\forall x \in \bar{A}, \forall \epsilon >0, B_\epsilon(x) \bigcap A \neq \varnothing\)
反设不相交, \(A \subset (B_\epsilon (x))^C\) 由于\((B_\epsilon(x))^C\) 是闭集, \(\bar{A} \subset (B_\epsilon (x))^C\) 这与 \(\bar{A} \subset A\) 矛盾.
接下来,我们取 \(\epsilon= \dfrac{1}{k},x_k \in B_{\frac{1}{k}}(x)\bigcap A\) 则\(x_k \in A , ~ x_k \to x\)
由于 闭集对极限运算封闭,右边\(\subset\) A 也成立.
边界
设\(A \subset \mathbb{R}^n\),我们记 \(\partial A = \bar{A}-A^o\) 称为\(A\) 的边界.
Remark. 我们可以容易得出\(\partial A =\partial A^C\).
内点,边界点,聚点
若 \(x\in A^o\), \(x\) 是 \(A\) 的内点.
若\(x\in \partial A\), \(x\) 是 \(A\) 的边界点.
若\(\forall \epsilon>0 , A \bigcap\{ B_\epsilon(x)\backslash x\} \neq \varnothing\), \(x\) 是 \(A\) 的聚点.
内点 | 边界点 | 聚点 | |
---|---|---|---|
内点 | - | 一定不是 | 一定是 |
边界点 | 一定不是 | - | 不一定是 |
聚点 | 不一定是 | 不一定是 | - |
命题8. 设 \(A\subset \mathbb{R}^n\) 则 \(x\) 是 \(A\) 的内点当且仅当 \(\exists x_k \in A,k=1,2\cdots x_k \to x,x_k \neq x\)
\(x\) 是 \(A\) 的边界点当且仅当\(\exists x_k \in A, y_k \in A^C,x_k \to x,y_k \to x\)
Remark. 这说明内点,边界点可以用极限刻画