数学分析II-4

本节主要讨论了以下内容

• 开集，闭集
• 内部，闭包
• 边界
• 内点，边界点，聚点

开集与闭集

命题4. 设$A\subset {\mathbb{R}}^n$ 既开又闭，则$A=\varnothing$ 或 ${\mathbb{R}}^n$

Proof. 反设$A\ne {\mathbb{R}}^n,\varnothing$ . 设$x_0\in A$，记 $r=d(x_0,A^C)=inf\{x-x_0,x\in A^C\}$

1. 由于$A$ 是开集，因此$r>0$
2. 我们可以证明 $\mathrm{\exists }{Y}_k\in A^C,|Y_k-x_0|\to r$

证明： 显然 $Y_k$ 有界，因此有界点列必有收敛子列，设 $Y_{k_i}\to Y_0\in A^C$，由于$A$ 是开集，因此$Y_0\in A^C$，因此$|Y_0-x_0|\to r$

3. 我们只要证明 $\mathrm{\exists }{Z}_0\in A^C,s.t.|Z_0-x_0|<|Y_0-x_0|$ 即可得出矛盾。

证明： 由于$A^C$ 是开集，因此$\mathrm{\exists }ϵ,B_{ϵ}(Y_0)\subset A^C$ 由于$x_0\notin B_{ϵ}(Y_0)$ 取$z_0=Y_0+{\displaystyle \frac{x_0-Y_0}{|x_0-Y_0|}}\cdot {\displaystyle \frac{ϵ}{2}}$ 即可.

内部与闭包

Def.

设$$，记 $$ , $$ 我们把 $$ 称为$$ 的闭包，把 $$ 称为$$ 的内部.

Remark. $$ 就是包含$$ 的最小闭集，$$ 就是包含于$$ 的最大开集.

命题5. 设$$，$$ 当且仅当$$ 是闭集, $$ 当且仅当$$ 是开集.

命题6. 设$$，则$$ , $$

Proof. 若 $$ , 则$$,

因此 $$

同理可证 $$

Remark. 这说明集合的内部和闭包是对偶的概念.

命题7. 集合的闭包也可以用点列的极限来定义.

设$$ 则$$

Proof.先证明 $$ 右边的集合.

我们先证明 $$

反设不相交, $$ 由于$$ 是闭集, $$ 这与 $$ 矛盾.

接下来，我们取 $$ 则$$

由于 闭集对极限运算封闭，右边$$ A 也成立.

边界

设$$，我们记 $$ 称为$$ 的边界.

Remark. 我们可以容易得出$$.

内点，边界点，聚点

若 $$, $$ 是 $$ 的内点.

若$$, $$ 是 $$ 的边界点.

若$$, $$ 是 $$ 的聚点.

	内点	边界点	聚点
内点	-	一定不是	一定是
边界点	一定不是	-	不一定是
聚点	不一定是	不一定是	-

命题8. 设 $$ 则 $$ 是 $$ 的内点当且仅当 $$

$$ 是 $$ 的边界点当且仅当$$

Remark. 这说明内点，边界点可以用极限刻画