数学分析II-3

本节主要讨论了以下内容 \(\mathbb{R}^n\) 中点列的极限 - 定义和基本性质 - 子列的极限 - Cauchy收敛原理

点列极限的定义

Def1. 点列极限 设$x_k ^n , k=1,2 $ 如果 \(\exists a \in \mathbb{R}\) 满足

\[\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ s.t. } \forall k \geq N, \left\| x_k - a \right\| < \epsilon\]

我们称\(\{x_k\}\) 收敛，且\(a\)是\(\{x_k\}\)的极限

命题1. 设\(x_k,a,b \in \mathbb{R}^n,k=1,2\cdots\)

如果\(a,b\) 是 \(x_k\) 的极限，则\(a=b\)

Proof. \(\exists N \in \mathbb{Z}\) s.t.

\(|x_N-a| <\epsilon ~~~~ |x_N-b|<\epsilon\)

于是\(|a-b| <2 \epsilon\) (三角不等式)

因此\(|a-b|=0,a=b\)

命题2. 我们在算点列极限时，可以化为分量的极限去计算

设\(x_k,a \in \mathbb{R}^n, k=1,2\cdots\) 则

\[x_k \to a \iff x_k^i \to a^i,~ \forall i=1 \sim n\]

Proof.

\[ \begin{aligned} x_k \to a &\iff |x_k-a| \to 0 \\ &\iff |x_k-a|_2 \to 0 \iff \|x_k-a \|_\infty \to 0 \\ &\iff \max_{1 \leq i \leq n} |x_k^i-a^i| \to 0 \\ &\iff |x_k^i-a^i| \to 0~ \forall i =1 \sim n \\ &\iff x_k^i \to a^i~ \forall i =1 \sim n \end{aligned} \]

点列极限的性质

Def 2. 设\(x_k \in \mathbb{R}^n, k=1,2\cdots\) 如果\(\exists M \in \mathbb{R}\) s.t. \(\forall k \in \mathbb{N}, \left\| x_k \right\| \leq M\) 则称\(\{x_k\}\)是有界的

Remark. \(\{x_k \}\) 有界\(\iff \{x_k^i\}\) 有界

命题3. 设\(x_k,y_k,a,b \in \mathbb{R}^n,\alpha,\beta \in \mathbb{R}~ x_k \to a , y_k \to b\)

那么有下面几条性质

1. \(\{x_k\}\) 有界 (有界性)
2. \(\alpha x_k +\beta y_k \to \alpha a + \beta b\) (线性性)
3. \(|x_k| \to |a|\) (模运算的连续性)
4. \(x_k \cdot y_k \to a \cdot b\) (内积的连续性)

Proof.

这里只选取一个进行证明 eg. 第三条

\[ \begin{aligned} x_k \to a &\iff x_k^i \to a^i \\ &\iff (x_k^i)^2 \to (a^i)^2 \\ &\iff \sum_{i}(x_k^i)^2 \to \sum_{i}(a^i)^2 \\ &\iff |x_k| \to |a| \end{aligned} \]

证法2.

\[||x_k|-|a| \leq |x_k-a|\to 0\]

于是得证

子列的极限，性质

\(k_i \in \mathbb{N}^*,i=1,2 \cdots ,k_1 < k_2 \cdots <k_n\)

我们称\(\{x_{k_i}\}\) 是 \(\{x_i\}\) 的子列.

命题4. 设\(x_k \in \mathbb{R}^n ,k=1,2\cdots\) 如果\(\{x_k\}\)有极限\(a\) 则\(\{x_{k_i}\}\)也有极限\(a\)

Proof. \(x_k \to a\in \mathbb{R}^n\) 则 \(x_k^j \to a^j\)

于是\(x_{k_i}^j \to a^j\) 即\(x_{k_i} \to a\)

Theorem 2. 有界点列必有收敛子列

Proof. 我们对\(n\) 进行归纳

1. \(n=1\) 时，显然成立
2. 假设\(n=k\)时成立，那么对于\(n=k+1\)时，取\(x_k=(y_k,z_k),y_k \in \mathbb{R}^n,z_k \in \mathbb{R}\) 且

由归纳假设，有 \(y_{k_i} \to a\) 且 \(z_{k_{i_j}} \to b\)

那么 \(x_{k_{i_j}}\) 即为所求子列

Cauchy收敛原理

Def 3. 设\(x_k \in \mathbb{R}^n, k=1,2\cdots\) 如果对于任意\(\epsilon > 0\) 都存在\(N \in \mathbb{N}\) s.t. \(\forall k \geq N, \forall l \geq N, \left\| x_k - x_l \right\| < \epsilon\) 则称\(\{x_k\}\)是Cauchy列

Theorem 2. Cauchy 收敛原理

设\(x_k \in \mathbb{R}^n, k=1,2\cdots\) \(\{x_k\}\)是Cauchy列\(\iff\) \(\{x_k\}\)收敛

Proof. \[ \begin{aligned} &\{x_k\} 是 Cauchy 列 \\ &\iff \{x_k^i\} 是Cauthy 列\\ &\iff \{x_k^i\} 收敛\\ &\iff \{x_k\} 收敛 \end{aligned} \]

\(\mathbb{R}^n\) 中的拓扑

开球： \(B_r(x) = \{y \in \mathbb{R}^n | \left\| y-x \right\| < r\}\)

Def 1. 开集

设\(A\subset \mathbb{R}^n\) 如果对于任意\(x \in A\) 都存在\(B_r(x) \subset A\) 则称\(A\)是开集

Def 2. 邻域

设\(x_0 \in \mathbb{R}^n\) 如果\(U \subset \mathbb{R}^n\) s.t. \(x_0 \in U\) 且 \(U\)是开集 则称\(U\)是\(x_0\)的邻域

Def 3. 闭集

设\(A\subset \mathbb{R}^n\), \(A^c\) 为开集,则\(A\) 为闭集。

开集，闭集的性质 - \(\mathbb{R}^n,\emptyset\) 既是开集又是闭集。 - 任意开集的并是开集 - 任意闭集的交是闭集 - 有限个开集的交是开集 - 有限个闭集的并是闭集

命题3. 闭集对极限运算封闭

设\(A \subset \mathbb{R}^n\) 则 A 为闭集当且仅当\(\forall x_k \in A, x_k \to a \in \mathbb{R}^n ,a \in A\)