数学分析II-12

定理1. Lebusgue 定理

\(Q \subset \mathbb{R}^n\) 为闭方体,\(f: Q \rightarrow \mathbb{R}\) 为有界函数,记 \(D= \{x\in Q, f 在 x 点不连续\}\). 则 \(f\) Riemann 可积当且仅当 \(m^*(D)=0\).

Remark.

函数在一点的振幅:

\[ \omega_x=\lim_{\delta \rightarrow 0^+} \omega_{B_\delta (x)\cap Q} \]

推论1.

\(Q \subset \mathbb{R}^n\) 为闭方体, \(f \in C(Q)\)\(f\) Riemann 可积.

Proof.

引理1.

\(A \subset Q\), \(x\)\(A\) 的内点,则 \(w_A \geq w_x\)

Proof.

由于 \(x\)\(A\) 的内点, \(\exists ~\delta >0, ~s.t. ~B_\delta (x)\subset A \subset Q\)

于是 \(w_A \geq w_{B_\delta (x)} \geq w_x\)

引理2.

\(x\in Q\), 则 \(f\)\(x\) 连续 当且仅当 \(\omega_x=0\).

Proof.

\(E_r=\sup \{f(x)-f(y), y \in B_r(x)\cap Q \}\)

\(f\) 连续 当且仅当 \(E_r\to 0\)

\(E_r \leq \omega_{B_r(x)\cap Q} \leq 2E_r\)

由夹逼定理可得 \(\omega_{B_r(x)\cap Q} \to 0\) 当且仅当 \(E_r\to 0\)

引理3.

\(m^*(D)=0\) 当且仅当 \(m^*(D_\delta)=0 ~\forall \delta >0\)

Proof.

\(\rightarrow\) \(D_\delta \subset D\)

\(\leftarrow\) \(D=\bigcup_{k=1}^\infty D_{\frac{1}{k}}\)

\(m^*(D)\leq \sum_{k=1}^{+\infty} D_{\frac{1}{k}}=0\)

引理4.

\(K \subset Q-D\) 为紧集, 设 \(\epsilon>0\)\(\exists \delta >0 s.t.\)

\[ \omega_{B_\delta (x)\cap Q} < \epsilon, ~\forall x \in K \]

Proof.

这个定理的本质就是定义在紧集上的连续函数一致连续.

\(|f(x)-f(y)|\leq \dfrac{\epsilon}{2} ~ \forall x \in K,y \in Q,|x-y|<\delta\)

引理5.

\(A \subset \mathbb{R}^n,m^*(A)< +\infty\)\(\epsilon >0\)\(\epsilon>0 ,~\exists\) 开集 \(\Omega ,A \subset \Omega.\) s.t.

\(m^*(A) \leq m^*(\Omega) \leq m^*(A)+\epsilon\)

Lebesgue定理的证明

先证明必要性:

\(f\) Riemann 可积, 则 \(\forall \epsilon >0, \exists Q的一个分划\pi, s.t.\)

\[ \sum_{q\in \pi} \omega_q V(q) < \epsilon \]

我们只要证明 \(m^*(D_\delta)\leq C \epsilon\)

注意到 \(Q=\cup_{q\in\pi}\partial q+\sum_{q\in \pi}q^o\)

(待完成)


数学分析II-12
https://blogs.pixia.tech/2023/数学分析ii-12/
作者
Pixia
发布于
2023年5月8日
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