数学分析II-12
定理1. Lebusgue 定理
设 \(Q \subset \mathbb{R}^n\) 为闭方体,\(f: Q \rightarrow \mathbb{R}\) 为有界函数,记 \(D= \{x\in Q, f 在 x 点不连续\}\). 则 \(f\) Riemann 可积当且仅当 \(m^*(D)=0\).
Remark.
函数在一点的振幅:
\[ \omega_x=\lim_{\delta \rightarrow 0^+} \omega_{B_\delta (x)\cap Q} \]
推论1.
设 \(Q \subset \mathbb{R}^n\) 为闭方体, \(f \in C(Q)\) 则 \(f\) Riemann 可积.
Proof.
引理1.
设 \(A \subset Q\), \(x\) 是 \(A\) 的内点,则 \(w_A \geq w_x\)
Proof.
由于 \(x\) 是 \(A\) 的内点, \(\exists ~\delta >0, ~s.t. ~B_\delta (x)\subset A \subset Q\)
于是 \(w_A \geq w_{B_\delta (x)} \geq w_x\)
引理2.
设 \(x\in Q\), 则 \(f\) 在 \(x\) 连续 当且仅当 \(\omega_x=0\).
Proof.
设 \(E_r=\sup \{f(x)-f(y), y \in B_r(x)\cap Q \}\)
\(f\) 连续 当且仅当 \(E_r\to 0\)
而 \(E_r \leq \omega_{B_r(x)\cap Q} \leq 2E_r\)
由夹逼定理可得 \(\omega_{B_r(x)\cap Q} \to 0\) 当且仅当 \(E_r\to 0\)。
引理3.
\(m^*(D)=0\) 当且仅当 \(m^*(D_\delta)=0 ~\forall \delta >0\)
Proof.
\(\rightarrow\) \(D_\delta \subset D\)
\(\leftarrow\) \(D=\bigcup_{k=1}^\infty D_{\frac{1}{k}}\)
\(m^*(D)\leq \sum_{k=1}^{+\infty} D_{\frac{1}{k}}=0\)
引理4.
设 \(K \subset Q-D\) 为紧集, 设 \(\epsilon>0\) 则 \(\exists \delta >0 s.t.\)
\[ \omega_{B_\delta (x)\cap Q} < \epsilon, ~\forall x \in K \]
Proof.
这个定理的本质就是定义在紧集上的连续函数一致连续.
即 \(|f(x)-f(y)|\leq \dfrac{\epsilon}{2} ~ \forall x \in K,y \in Q,|x-y|<\delta\)
引理5.
设 \(A \subset \mathbb{R}^n,m^*(A)< +\infty\) 设 \(\epsilon >0\) 设 \(\epsilon>0 ,~\exists\) 开集 \(\Omega ,A \subset \Omega.\) s.t.
\(m^*(A) \leq m^*(\Omega) \leq m^*(A)+\epsilon\)
Lebesgue定理的证明
先证明必要性:
设 \(f\) Riemann 可积, 则 \(\forall \epsilon >0, \exists Q的一个分划\pi, s.t.\)
\[ \sum_{q\in \pi} \omega_q V(q) < \epsilon \]
我们只要证明 \(m^*(D_\delta)\leq C \epsilon\)
注意到 \(Q=\cup_{q\in\pi}\partial q+\sum_{q\in \pi}q^o\)
(待完成)