数学分析II-11
反函数定理
我们来讨论一个重要定理,反函数定理
设 \(f: X\to Y\), \(A,B\) 分别为 \(X,Y\) 为非空子集,\(f(A)\subset B\) 我们用 \(f:A\to B\) 表示与 \(f:X\to Y\) 具有相同的对应法则.
定理1.反函数定理
设 \(f\in C^1 (\Omega,\mathbb{R}^n)\), \(\Omega\) 为开集, 设 \(x_0\in \Omega\) 且 \(df_{x_0}\) 可逆。则存在 \(x_0\) 的一个邻域 \(U \subset \Omega\), 使得 \(f(U)\) 为开集, \(f:U\to f(U)\) 为\(C^1-\) 微分同胚。
Remark: 下面从解方程的角度来解释反函数定理。考虑非线性方程.
\[ f(x)=y,~ x\in \Omega \]
解的存在唯一性,设 \(f(x_0)=y_0\) 我们把方程 \[ Df(x_0)x=y , x\in \mathbb{R}^n \]
称为方程在 \(x_0\) 点的线性化方程。反函数定理说明,如果 \(\forall y \in \mathbb{R}^n\) 线性方程唯一可解,则存在 \(x_0\) 的邻域 \(U\) , \(y_0\) 的邻域 \(V\) ,使得 对于任意 \(y \in \mathbb{R}^n\) 线性化方程有唯一解.
定理2. 压缩映象原理
设 \(F: A\to A\), 其中 \(A \subset \mathbb{R}^n\) 为闭集. 设粗在 \(\alpha \in (0,1)\) 使得
\[ \|F(x)-F(y)\|\leq \alpha \|x-y\|, \forall x,y \in A \]
则存在唯一的 \(a \in A\) 使得 \(F(a)=a\)
Remark:
- 这样的函数 \(F\) 被称作压缩映象,显然 它是Lipschitz连续的,且Lipschitz常数小于1.
- 下面的证明方法被称作Picard迭代法或Newton迭代
Proof.
唯一性显然,下面证明存在性:
记 \(a_{k+1}=F(a_k)\)
下面证明\(\{a_k\}\) 收敛
由于
\[|a_{k+1}-a_k|= F(a_k)-F(a_{k-1})\leq \alpha |a_k-a_{k-1}|\]
因此 \(|a_{k+1}-a_k|\leq \alpha^{k-1} |a_k-a_{k-1}|\)
由等比级数的敛散性知 \(\{a_k\}\) 收敛,设 \(\lim_{k\to \infty} a_k=a\), 则 \(a=F(a)\)
引理1
设 \(f \in C^1 (\Omega,\mathbb{R}^n)\), 其中 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 为开集. 其中 \(0 \in \Omega, f(0)=0,Df(0)=I\), 则存在 \(0\) 的邻域 \(U\) 使得 \(f:U\to f(U)\) 为 同胚映射.
Proof.
设 \(f(x)=x+g(x)\)
则 \(g(x)=f(x)-x;g(0)=0,Dg(0)=0\)
且 \(g \in C^1 (\Omega,\mathbb{R}^n)\) 且存在 \(B_\epsilon \subset \Omega\) 使得
\[ \|Dg(x)\|\leq \frac{1}{16}, \forall x \in B_\epsilon \]
由微分中值定理
\[ \|g(x)-g(y)\|\leq \frac{1}{16}\|x-y\|, \forall x,y \in B_\epsilon \]
于是 \(|g(x)|< \dfrac{1}{16}|x|,\forall x \in B_\epsilon\)
设 \(y \in B_{\epsilon/4}\) 下面证明关于 \(x\) 的方程
\[ x=y-g(x), x \in B_{\epsilon} \]
存在唯一解.
由压缩映象原理,上面的方程最多有一个解.
设 \(x \in \overline{B_{\epsilon/2}}\)
容易证得 \(|F(x)|\leq \epsilon/2\)
因此 \(F(\overline{B_{\epsilon/2}})\subset \overline{B_{\epsilon/2}}\)
由压缩映象原理知,上面的方程有唯一解.
接下来,我们要证明 \(f: B_\epsilon \cap f^{-1}(B_{\epsilon/4})\to B_{\epsilon/4}\) 为双射。用 \(h\) 表示它的逆映射. 下面证明 \(h\) Lipschitz 连续.
\[ |f(x_1)-f(x_2)|\geq |x_1-x_2|-|g(x_1)-g(x_2)|\geq \frac{15}{16}|x_1-x_2| \]
于是 \(|x_1-x_2|\leq \frac{16}{15}|f(x_1)-f(x_2)|\)
因此 \(h(y_1)-h(y_2)|\leq \frac{16}{15}|y_1-y_2|\)
即 \(h\) Lipschitz 连续.
最后,令 \(U=B_\epsilon \cap f^{-1}(B_{\epsilon/4})\), 则 \(f:U\to f(U)\) 为双射,且 \(f^{-1}:f(U)\to U\) 为连续映射,因此 \(f:U\to f(U)\) 为同胚映射.
引理2. 设\(F\in C^1 (\Omega,\mathbb{R}^n)\), 其中 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 为开集. 其中 \(x_0 \in \Omega\) 且 \(Df(x_0)\) 可逆, 则存在 \(x_0\) 的邻域 \(U\) 使得 \(f(U)\) 为开集,且 \(f:U\to f(U)\) 为同胚映射.
Proof.
设 \(A \subset \mathbb{R}^n,b \in \mathbb{R}^n\) 用 \(A+b\) 表示 \(A\) 的平移