数学分析II-10
对多元函数微分做一个小小的总结
方向导数和偏导数
Def 1. 设开集 \(D \subset \mathbb{R}\) , 函数 \(f: D \to \mathbb{R}\) ,\(u\) 是一个方向, \(x_0 \in D\) 若
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + hu) - f(x_0)}{h} = L(u) \]
存在且有限,则称 \(L(u)\) 是函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处沿着方向 \(u\) 的方向导数, 记作\(\dfrac{\partial f }{\partial u}(x_0)\), \(D_{u}f(x_0)\)
在一个坐标系中,我们可以考察 \(e_1 \cdots e_n\) 这 \(n\) 个 单位向量,我们称 \(f\) 在 \(x_0\) 处沿着 \(e_i\) 方向的方向导数为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的第 \(i\) 个一阶偏导数,记作 \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)\)
Remark: 事实上,方向导数完全可以当作一阶导数来处理
微分
Def 2. 设 \(h=(h_1, \cdots h_n)\), 如果有
\[ f(x_0+h)-f(x_0)= \sum_{i=1}^n \lambda_i h_i + o(||h||), ||h|| \to 0 \]
则称函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处可微,称 \(\sum_{i=1}^n \lambda_i h_i\) 为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的微分,记作
\[ \mathrm{d} f(x_0) = \sum_{i=1}^n \lambda_i h_i \]
Remark: 函数 \(f\) 在 \(x_0\) 点可微的含义是 函数 \(f\)在\(x_0\) 附近像一个一次函数
当函数\(f\) 在 \(x_0\) 处可微时,我们有 \(\lambda_i =D_i f(x_0)\)
因此
\[ \mathrm{d} f(x_0) = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f(x_0)}{\partial x_i} h_i \]
Def 3. 梯度
我们令
\[ Jf(x)=(D_1f(x), \cdots, D_nf(x)) \]
我们把它称作函数 \(f\) 在点 \(x\) 处的梯度
我们注意到 \(\mathrm{d}f(x_0)=Jf(x_0)h\)
即函数的微分等于函数的梯度乘以方向向量
映射的微分
设函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\), \(x_0\) 是 \(D\) 的内点,如果存在线性算子 \(df(x_0) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 使得
\[f(x)=f(x_0)+df(x_0)(x-x_0)=o||x-x_0||.x\to x_0\]
我们称\(f\) 在 \(x_0\) 点可微,称 \(df_(x_0)\) 为 \(f\) 在 \(x_0\) 点的微分