数学分析II-10

对多元函数微分做一个小小的总结

方向导数和偏导数

Def 1. 设开集 \(D \subset \mathbb{R}\) , 函数 \(f: D \to \mathbb{R}\) ,\(u\) 是一个方向, \(x_0 \in D\)

\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + hu) - f(x_0)}{h} = L(u) \]

存在且有限,则称 \(L(u)\) 是函数 \(f\)\(x_0\) 处沿着方向 \(u\) 的方向导数, 记作\(\dfrac{\partial f }{\partial u}(x_0)\), \(D_{u}f(x_0)\)

在一个坐标系中,我们可以考察 \(e_1 \cdots e_n\)\(n\) 个 单位向量,我们称 \(f\)\(x_0\) 处沿着 \(e_i\) 方向的方向导数为 \(f\)\(x_0\) 处的第 \(i\) 个一阶偏导数,记作 \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)\)

Remark: 事实上,方向导数完全可以当作一阶导数来处理

微分

Def 2. 设 \(h=(h_1, \cdots h_n)\), 如果有

\[ f(x_0+h)-f(x_0)= \sum_{i=1}^n \lambda_i h_i + o(||h||), ||h|| \to 0 \]

则称函数 \(f\)\(x_0\) 处可微,称 \(\sum_{i=1}^n \lambda_i h_i\)\(f\)\(x_0\) 处的微分,记作

\[ \mathrm{d} f(x_0) = \sum_{i=1}^n \lambda_i h_i \]

Remark: 函数 \(f\)\(x_0\) 点可微的含义是 函数 \(f\)\(x_0\) 附近像一个一次函数

当函数\(f\)\(x_0\) 处可微时,我们有 \(\lambda_i =D_i f(x_0)\)

因此

\[ \mathrm{d} f(x_0) = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f(x_0)}{\partial x_i} h_i \]

Def 3. 梯度

我们令

\[ Jf(x)=(D_1f(x), \cdots, D_nf(x)) \]

我们把它称作函数 \(f\) 在点 \(x\) 处的梯度

我们注意到 \(\mathrm{d}f(x_0)=Jf(x_0)h\)

即函数的微分等于函数的梯度乘以方向向量

映射的微分

设函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\), \(x_0\)\(D\) 的内点,如果存在线性算子 \(df(x_0) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 使得

\[f(x)=f(x_0)+df(x_0)(x-x_0)=o||x-x_0||.x\to x_0\]

我们称\(f\)\(x_0\) 点可微,称 \(df_(x_0)\)\(f\)\(x_0\) 点的微分


数学分析II-10
https://blogs.pixia.tech/2023/数学分析ii-10/
作者
Pixia
发布于
2023年4月17日
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