讨论班1

1.1

求：

\[ \lim_{x\to \infty} e^{-x}(1+\dfrac{1}{x})^{x^2} \]

解:

\[ 原式= \lim_{x\to \infty} e^{-x+x^2\ln (1+\frac{1}{x})}\\ = e^{\lim_{t\to 0}\dfrac{\ln (1+t)-t}{t^2}} \]

指数上方结果为 \(-\dfrac{1}{2}\).

原式结果为 \(e^{-\frac{1}{2}}\).

1.2

\[ \lim_{n \to \infty} (n!)^{\frac{1}{n^2}} \]

解：

Stirling公式

首先 极限 大于等于1，其次 它小于等于 \((n^n)^{\frac{1}{n^2}}\)

而它趋近于1

1.3

\[ \lim_{x \to \infty} x^\frac{1}{3} \int_{x}^{x+1}\dfrac{\sin t}{\sqrt{t+\cos t}}dt \]

解： \(x\)充分大时，极限内:

\[ 原式 \leq x^{\frac{1}{3}} \int_{x}^{x+1} \frac{1}{t-1}dt \\ = x^{\frac{1}{3}} \cdot 2(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}) =\dfrac{2 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}} \]

1.4

\[ \lim_{n \to \infty} n((1+\frac{1}{n})^n -e) \]

解：

原式 =

\[ ne(\frac{(1+\frac{1}{n})^n}{e}-1)\\ \sim ne\ln \dfrac{(1+\frac{1}{n})^n}{e} = ne (n\ln (1+\frac{1}{n})-1) \]

使用 Taylor展式：

\[ ln(1+\frac{1}{n})\sim \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+ o(\frac{1}{n^2}) \]

于是原式= \(-\frac{e}{2}\).

1.5

\[ \lim_{n\to \infty} (\dfrac{a^{1/n}+b^{1/n}+c^{1/n}}{3})^n \]

解：

\[ 原式= \lim_{x \to 0} (\dfrac{a^x+b^x +c^x}{3})^\frac{1}{x} =e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(a^x+b^x +c^x)-\ln 3}\\ \]

1.6

\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{(k+1)!} \]

解:

求和内=\(\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\)。

求和之后即可得出结果为 1

1.7

\[\lim_{x\to 0} (\dfrac{e^x +\cdots e^{nx}}{n})^{\frac{e}{x}}\]

其中 n 是正整数

解:

用第五题的结论即可 答案为 \(e^{\frac{(n+1)e}{2}}\)

1.8

\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1} (1+\frac{k}{n}) \sin \dfrac{k \pi}{n^2} \]

解：极限内=

\[\sum (1+\frac{k}{n})(\frac{k\pi}{n^2}- \frac{\cos \epsilon}{6}\frac{k^3\pi}{n^6})\]