数学分析笔记8

积分

Riemann积分

Riemaan积分是一种计算积分的方法

对于\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) 设\(a=x_0 < x_1 \cdots x_n =b\)

我们把\(p=\{x_0 \cdots x_n\}\) 称为 \([a,b]\) 的一个分化

设 \(f:[a,b] \to \mathbb{R} ~~; A \in \mathbb{R}\) 如果

\[\lim_{\Delta p \to 0} \sup_{\xi}|S(f,p,\xi)-A|=0\]

其中 \(p\) 是 \(f\) 在 \(p\) 上的一个分化,\(\xi\) 是任取的点集，\(\xi_i \in [x_{i-1},x_i]\)

\[S(f,p,\xi)= \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\]

这时，我们称\(f\) Riemann 可积， 称 \(A\) 是 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的一个Riemann积分

积分符号：\(A=\int_a^b f(x)dx\) 其中 \(f\) 是被积函数, \(a,b\) 是积分上下限, \(x\) 是积分变量，而\(dx\)是\(x\)的积分，自变量的差.

可积的必要条件

显然，Riemann可积的一个必要条件为\(f\)有界。

证明: 假设 \(f\) 无界, 记 \(A =\int_a^b f \in \mathbb{R} ~\exists p=\{x_0\cdots x_N\}\quad s.t.\)

\[\forall \xi_i \in [a_{i-1},a_i] ~ i=1～N \\ |\sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})-A|\leq 1\]

设\(1\leq k \leq N , k\in N^*\)

\[|f(\xi_k) (a_k-a_{k-1})|\leq \sum_{i\neq k}|f(\xi_i)|+|A|+1\\ \leq \sum_{i=1}^N|f(a_i)|(a_i-a_{i-1})+|A|+1\\ \leq M(b-a)+|A|+1\]

由此，\(f\) 有界