数学分析笔记6
由于前几天有考试，现在对上周所学做一个整理
基本初等函数公式的推导
- 三角函数
\[\begin{aligned} (\sin x)' &= \cos x \\ (\cos x)' &= -\sin x \\ \tan x &= \dfrac{1}{\cos^2 x} \end{aligned}\]
先证明第一个式子
\[\begin{aligned} \lim_{y \to x} \dfrac{\sin y -\sin x}{y - x} &= \lim_{y \to x} \dfrac{2\sin \frac{y-x}{2} \cos \frac{y+x}{2}}{y - x} \\ & =\lim_{y \to x} \dfrac{\sin \frac{y-x}{2}}{\frac{y-x}{2}}\lim_{y\to x}\cos \frac{y+x}{2} \\ &= \lim_{y \to x} \cos \frac{y+x}{2} = \cos x \end{aligned}\]
其他的可由求导法则等类似证出 2. 反三角函数
\[\begin{aligned} (\arcsin x)' &= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arccos x)' &= -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arctan x)' &= \dfrac{1}{1+x^2} \end{aligned}\]
先证明第一个式子
首先由同胚映射可看出 \(\arcsin x\)在定义域上可导。
\[\begin{aligned} &\sin \arcsin x =x \Rightarrow \cos \arcsin x \cdot \arcsin x' =1 \\ &\Rightarrow \arcsin x' = \dfrac{1}{\cos \arcsin x} = \dfrac{1}{\cos\theta}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}\]
- 指数函数
\[ (e^x)' =e^x\]
先考虑函数在原点处的导数 \(e^0 = 1\) \[\begin{aligned} e^x &= 1+ \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{x^k}{k!} \\ &= 1+ x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots \\ &= 1+ x \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{x^{k-1}}{k!} \\ &= 1+ x (1+ x \sum_{k=2}^{+\infty} \dfrac{x^{k-2}}{k!}) \\ &= 1+x (1+x R(x)) \end{aligned}\]
其中 \(R(x) = \sum_{k=2}^{+\infty} \dfrac{x^{k-2}}{k!}= \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{|x|^n}{(n+2)!} \leq e^{|x|}\)
于是
\[ \lim_{x \to 0 } \dfrac{e^x -1}{x} -1 = \lim_{x \to 0} xR(x) \leq |x|e^{|x|}= 0\]
接下来再考虑任意其他的\(x\).
\[(e^x)'=\lim_{h \to 0} \dfrac{e^{x+h}-e^x}{h} =e^x\lim_{h\to 0} \dfrac{e^h -1}{1}=e^x\]
- 对数函数
由指数函数来推
高阶导数
我们从一阶导数来定义\(n\)阶导函数
同时我们可以定义\(n\)阶可微空间和无限可微空间。
\[C^n(I)=\{ f: I\rightarrow R, f^{(k)}连续 , k: 1 ～ n\]
\[C^{\infty}(I)=\{ f: I\rightarrow R, f^{(k)}连续 , k: 1 ～ \infty\]
闭包
\(A \subset \mathbb{R}\)是函数的定义域，把包含\(A\)的最小闭集称为\(A\)的闭包.
\(\text {支集： supp. } f=\{x \in A ; f(x) \neq 0\} \text {的闭包}\)
构造无限可微函数
考虑函数
\[h(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x}}, & x>0 \\ 0, & x \leq 0 . \end{array}\right.\]
那么它是无限连续可微的.同时由此函数，我们可以构造带有紧支集的连续光滑函数.
高阶函数的乘积求导法则遵循二项式定理.
微分中值定理
- 罗尔中值定理
假设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(a) = f(b)\)，在\((a,b)\) 上可导,则 \(\exists \epsilon, ~s.t. ~f'(\epsilon) =0\)
Proof:
若 \(f\) 的最大，最小值均在端点处取到，那么\(f\)是常值函数。
若 \(f\) 的最大值或最小值在函数内部取到，不妨假设 \(\max f \in (a,b)\)
那么 \(\exists \epsilon \in (a,b)\) 使得 \(f(\epsilon) = \max f\)
由导数的定义可知
\[f'_+(\epsilon) = \lim_{h_+ \to 0} \dfrac{f(\epsilon +h) - f(\epsilon)}{h} \geq 0\]
\[f'_-(\epsilon) = \lim_{h_- \to 0} \dfrac{f(\epsilon +h) - f(\epsilon)}{h} \leq 0\]
\[\therefore f'(\epsilon) =0\]
这便是罗尔中值定理.
- Cauthy 中值定理
对于两个函数\(f\)，\(g\), 考虑下面两个函数
\[\tilde{f}=(g(b)-g(a)) f . \quad \tilde{g}=(f(b)-f(a)) g .\]
那么 \(\tilde{f}\) 和 \(\tilde{g}\) 在 \((a,b)\) 上可导，且 \(\tilde{f}(b)-\tilde{f}(a) = \tilde{g}(b)-\tilde{g}(a) = 0\)
由此 \(\exists \epsilon \in(a,b)\) 使得 \(\tilde{f}'(\epsilon) = \tilde{g}'(\epsilon) = 0\)
\[\text {即}(g(b) -g(a)) f^{\prime}(\varepsilon)=(f(b)-f(a)) g^{\prime}(\varepsilon) \text {. }\]
整理一下可以得出
若\(f,g\)在\([a,b]\) 上连续，且在\((a,b)\) 上可导,则 \[\varepsilon \in(a, b) . \rightarrow(g(b)-g(a)) f^{\prime}(\varepsilon)=(f(b)-f(a)) g^{\prime}(\varepsilon) .\]
若\(g'(x)\neq 0\quad \forall x \in(a,b)\)
\[\exists \epsilon \in (a,b) ~s.t. ~\frac{f^{\prime}(\varepsilon)}{g^{\prime}(\varepsilon)}=\frac{f(b)-f(a) .}{g(b)-g(a) .}\]