数学分析笔记4

实数连通性

Theorem 1. 设 \(\mathbb{R}=U+V \quad U,V\)为互不相交的开集，则\(U= \varnothing\) 或 \(V=\varnothing\)。

Proof 1. 反证法

假设 \(U \neq \varnothing,~ V \neq \varnothing\)。

不妨设\(x_0 \in U,y_0\in V, ~ x_0<y_0\)

考虑集合\(A=V\cap [x_0,y_0+1]\quad B=V\cap (x_0,y_0+1)\)。

容易得出\(A \neq \varnothing,~ B \neq \varnothing\)。且\(A\)为紧集，\(B\)为开集。

于是有\(A\)最小元，记为\(m=\min A\)。

那么

\[\begin{aligned}m&=\min A=\min V \cap (x_0,y_0+1]\\&=\min V \cap (x_0,y_0+1)\\&=\min B \end{aligned}\]

矛盾，原命题得证。

计算函数极限

极限和连续函数可以交换次序

Theorem 2. 设 \(f\in C(\mathbb{R}),~ g:E\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), \(x_0\)是\(E\)的聚点，如果\(g\)在\(x_0\)点有极限，则 \(f(g(x))\) 在\(x_0\)点有极限。且

\[\mathop{\lim}\limits_{x \rightarrow x_0}f(g(x))=f(\mathop{\lim}\limits_{x \rightarrow x_0}g(x))\]

Remark 2. 前提：\(f\)连续,反例：

\[H(x)= \left\{ \begin{array}{rl} &1 \quad x>0\\ & 0 \quad x\leq 0 \end{array} \right.\\ g(x)=x^2\]

考察函数在原点的极限，上面的定理不成立。

这个命题证明了复合函数的连续性

Proof 2.

设 \(\tilde{g} = \left\{ \begin{array}{rl} &g(x)\quad x\in E ~\backslash \{x_0\} \\ &\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)\quad x=x_0 \end{array} \right.\)

那么 \(\tilde{g}\) 在 \(x_0\) 连续

因此\(f(\tilde{g}(x))=f(g(x))\quad \forall x \in E \backslash \{x_0\}\)

\[\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(g(x)) = \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(\tilde{g}(x))\\=f(\tilde{g}(x))=f(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x))\]

变量代换

Theorem 3. 若 \(\psi: U \rightarrow V\) 是同胚映射，\(t_0 \in U, x_0 =\psi(t_0)\) 设 \(f : V \rightarrow \mathbb{R}\) 则\(f\)在\(x_0\) 点有极限当且仅当\(f\circ \psi\)在\(t_0\)点有极限。且

\[\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\mathop{==}\limits^{x=\psi(t)} \lim_{t \rightarrow t_0}f(\psi(t))\]

Proof 3.

先证必要性：假设\(f\)在\(x_0\)点有极限，记

\[\tilde{f} =\left\{ \begin{array}{rl}&f(x)\quad x \in V\backslash \{x_0\}\\ \\ &\lim\limits_{t \rightarrow t_0}f(x)\quad x=x_0 \end{array} \right.\]

那么 \(\tilde{f}\) 在 \(x_0\) 连续， \(\tilde{f}\circ \psi\) 在 \(t_0\) 点连续。

\(\tilde{f}(x)=f(x)\quad x \in V \backslash \{x_0\}\)

\(\tilde{f}(\psi(t))=f(\psi(t))\quad t \in U \backslash \{t_0\}\)

\[\lim_{t\rightarrow t_0}f(\psi(t))=\lim_{t\rightarrow t_0}\tilde{f}(\psi(t))=\\ \tilde{f}(\psi(t_0))= \tilde{f}(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\]

再证充分性：假设\(f\circ \psi\)在\(t_0\)点有极限，

于是\(f\circ \psi \circ \psi^{-1}\)在\(x_0\)点有极限。剩下已证

然后还讲了一些习题

上课时间 2022.11.9