数学分析笔记3

函数一致连续的性质

Def 1. 设\(f : E \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), 如果\(\forall \epsilon >0~ \exists ~\delta> 0 , \quad s.t.\) \(|f(x)-f(y)| < \epsilon, \forall x,y \in E,|x-y|< \delta\) 则称\(f\) 一致连续。

Statement 2. 设\(f: E\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 且 \(\omega(r)=\mathop{sup}\limits_{x,y \in E \atop |x-y|<r} |f(x)-f(y)|，r>0\)

则\(f\)一致连续当且仅当

1. \(\omega(r) \rightarrow 0, r \rightarrow 0^+\)
2. \(\exists \delta_0 >0 \quad s.t. ~ \omega(r)<+\infty , \forall ~ 0<r<\delta_0\)

Remark 3. 一致连续是一个比连续更强的结论，但同时我们可以把它推广到紧集上。

Theorem4. 设\(k \subset \mathbb{R}\) 为非空的紧集，如果\(f\in C(k)\) 则\(f\) 一致连续。

Proof4. 由于\(f\)是连续的，设\(\epsilon >0 ,x \in K\) 则 \[\exists \delta_x >0 \quad s.t. ~ |f(y)-f(x)|<\epsilon/3\quad \forall y \in k\cap (x_0-\delta_x ,x_0+\delta_x)\]

令\(U_x =(x-\delta_x/3,x+\delta_x/3)\) 于是\(k \subset U_{x\in k} U_x\)

注意到\(U_{x\in k} U_x\) 由有限覆盖原理

\[\exists x_i \in k ,i =1 ～ N, N \in N^*, ~ s.t. ~k \in U_{i=1}^N U_{x_i}\]

令\(\delta = min\{\delta_{x_i}/3,i=1～N \}\)

设\(x,y \in K, ~|x-y|<\delta\) 设 \(x \in U_{x_i}\) 于是\(|x-x_i|<\dfrac{\delta_{x_i}}{3}<\delta{x_i}\)

\[|f(x)-f(x_i)|<\epsilon/3\]

\[|f(y)-f(x_i)|<\epsilon/3\]

\[|f(x)-f(y)|<\epsilon\]

Def 5. 设\(f: E \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 如果 \(\exists L \in \mathbb{R}, L >0 ,~ s.t.~ |f(x)-f(y)|\leq L|x-y| ~ \forall x, y \in E\)

则称\(f\)为Lipschitz连续。

从图像上看，Lipschitz连续是把函数\(f\)夹在了两个锥面的中间，另一方面，Lipschitz连续是一个比一致连续还要强的结论

Def 6. 设\(f : E\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 如果 \(\exists L \in \mathbb{R}, 0<\alpha <1 ~s.t.~ |f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^\alpha ~\forall x,y \in E\)

则称\(f\)是赫尔德连续。

Theorem 7. 设\(f: E \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}~, f\subset C(E)\) 且 \(K \subset E\)为紧集，则\(f(C(K))\)为紧集。

Theorem 8. 设\(K \subset \mathbb{R}\) 为非空的紧集，设\(f \in C(K)\) 则 \(\exists x_1,x_2 \in K~s.t.~f(x_1)=min f,f(x_2)=max f\)

Remark 8. 定义在紧集上的连续函数一定有最大最小值。

复习： 紧集：有界的闭集/开覆盖必有有限子覆盖

定理8的证明可由定理7显然推出

Proof 7. 我们需要证明连续函数可以把紧集映射到紧集，即

设\(f(k) \subset U_{\lambda \in \Lambda}\Omega_\lambda \quad \Omega_\lambda \subset \mathbb{R}\) 为开集

于是\(f^{-1}(f(k)) \subset f^{-1} (U_{\lambda \in \lambda} \Omega_\lambda)= U_{\lambda\in \Lambda} f^{-1}(\Omega_\lambda)\)

\[K \subset U_{\lambda\in \Lambda}f^{-1} (\Omega _\lambda)\]

由相对开集的性质 \(f^{-1}(\Omega_\lambda) =E\cap U_\lambda \quad U_\lambda\) 为开集

\[K \subset U_{\lambda\in \Lambda}E\cap U_\lambda\]

\[K \subset U_{\lambda\in \Lambda}U_\lambda\]

由有限覆盖原理\(K \subset U_{i=1}^N U_{\lambda_i}\)

\[K \subset U_{i=1}^N (U_{\lambda_i}\cap E)\]

\[K \subset U_{i=1}^N f^{-1}(\Omega_{\lambda_i})\]

\[K \subset U_{i=1}^N \Omega_{\lambda_i}\]

Theorem 9. 介值定理 设\(-\infty <a<B<+\infty\). 且\(f \in C([a,b])\). 记\(m=min f,M =maxf.\)则\(Rgf={x\in \mathbb{R} ,m\leq x\leq M}\)

Remark 9. 若\(f\)是定义在闭区间上的连续函数，则\(f\)的值域恰好由其最小值到最大值。