数学分析笔记2

连续函数的整体刻画

Def 1. 设 \(E\subset \mathbb{R},E \neq \varnothing,A \subset E\) 若 \(\exists~ 开集 ~U \subset \mathbb{R}, ~ s.t. ~A = E \cap U\) ,则称\(A\)是\(E\)的一个相对开集。

Theorem 2. 设\(E \subset R , E \neq \varnothing, A \subset E\)

1. 若\(A\)是\(E\)的一个相对开集，则\(A\)是\(E\)的一个开集。
2. 若\(E\)是开集，则\(A\)是相对开集当且仅当\(A\)是开集。

Theorem 3. 设\(E \subset R , E \neq \varnothing, A \subset E\), 则\(A\)是\(E\)的相对开集当且仅当\(\forall x \in E, \exists ~\epsilon >0 \quad s.t. \quad E \cap (x-\epsilon,x+\epsilon) \subset A\)

Proof 3. 先证必要性:

\[ x\in A \rightarrow x\in E \cap U \rightarrow \exists ~ \epsilon >0 ,~(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset U \\ \rightarrow E \cap (x-\epsilon,s+\epsilon) \subset E \cap U = A \]

再证充分性:

\[\forall x \in E, \exists ~\epsilon >0 \quad s.t. \quad E \cap (x-\epsilon,x+\epsilon) \subset A \]

记 \((x-\epsilon_x,x+\epsilon_x)= U_x\) 于是 \(U_x \cap E \subset A\) 那么有 \(\cup_{x\in A } U_x \cap E \subset A\).

另一方面,\(\cup_{x\in A } U_x\)包含了所有A的元素，即

\[A \subset \cup_{x\in A } U_x \cap E\]

于是\(A= \cup_{x\in A} U_x \cap E\) , 因此\(A\)是\(E\)的一个相对开集。

Theorem 4. 相对开集类似开集，有一系列类似开集的性质：

1. \(E,\varnothing\)是\(E\)的相对开集。
2. 设\(A_\lambda \subset E\)是\(E\)的相对开集，\(\lambda \subset \Lambda\) 那么 \(\cup_{\lambda \subset \Lambda} A_\lambda\) 是\(E\)的相对开集。
3. 设\(A_i \subset E\) 是\(E\)的相对开集, 那么 \(\cap_{i=1}^N A_i\) 是\(E\)的相对开集。

Remark 4. 上述性质简单来说，任意个相对开集的并是相对开集，有限个相对开集的交是相对开集。

Theorem 5. 设\(E \subset \mathbb{R},E \neq \varnothing,\) 则\(f \in C (E) \leftrightarrow \forall~ 开集~U \subset \mathbb{R} ,f^{-1} (U)\) 是 \(E\) 的相对开集。

Remark 5. 这个定理的含义是 函数 连续 当且仅当 在象空间上取开集\(U\)，则\(U\)的原象集是原象空间的相对开集。

Inferance 5. 设 \(\Omega \subset \mathbb{R}\) 为开集, \(\Omega \neq \varnothing\)。则\(f \in C(\Omega)\)当且仅当 \(\forall 开集 U \subset \mathbb{R},\) 原象集 \(f^{-1} (U)\) 是开集。

Proof 5. 先证充分性:

\(\forall x \in E, \epsilon >0 , (f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon)\) 是象空间中的开集,于是\(f^{-1}((f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon))\) 是 \(E\)的相对开集。

即 \(f^{-1}(f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon) = E \cap U\),\(U\)是开集。

若\(x \in f^{-1}(f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon)\) ，则 \(x \in U\)。

由于\(U\)是开集，于是\(\exists ~\delta>0,\quad s.t.\)

\[\quad (x-\delta ,x+\delta)\subset U \rightarrow (x-\delta,x+\delta)\cap E\subset U\cap E=f^{-1}(f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon)\]

这意味着 \(\forall x_0 \in (x-\delta ,x+\delta) \cap E,f(x_0)\in (f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon)\)。

即 \(|f(x_0)-f(x)|<\epsilon\) 。这恰好满足函数连续的定义。

再证必要性：

\[\forall x_0 \in f^{-1}(U),~ f(x_0)\in U\]

由于\(f(x_0) \in U\)，由于\(f\)在\(x_0\)连续，\(\exists ~ \epsilon >0 \quad s.t. \quad (f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon) \subset U\)

于是\(\exists ~\delta \quad s.t.\quad |f(x)-f(x_0)|< \epsilon \quad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)\)

\[(x_0-\delta,x_0+\delta) \cap E \subset f^{-1}(U) \rightarrow \forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)\cap E \\ \rightarrow f(x)\in (f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon)\]

因此\(f(x) \in U , x\in f^{-1}(U)\).

同胚

Def 1. 设 \(\psi : U \subset \mathbb{R} \rightarrow V \subset \mathbb{R}\) 为双射, 且 \(u,v\) 为开集，如果 \(\psi,\psi^{-1}\) 均连续，则称\(\psi\) 为同胚映射。

Def 2. 设\(U,V\)为非空开集，如果存在同胚映射 \(\psi:U \rightarrow V\)，则称\(U,V\)同胚。

Remark 1. 同胚映射在几何上可以看作是变量代换，或者是形变的一种。比如

\[f(x)=x+a\quad 平移\]

\[f(x)=ax\quad a>0 \quad 缩放\]

\[f(x)=ax+b\quad a>0 \quad 平移+缩放\]

\[f(x)=-x\quad 对称\]

Statement 3. 同胚映射的一些性质

1. 设 \(U \subset R\) 为非空开集，则恒同映射 \(I_U :U \rightarrow U\) 是同胚映射。
2. 如果 \(\psi: U \rightarrow V\)为同胚映射，那么 \(\psi^{-1}\) 也是同胚映射。
3. 如果 \(\varphi : U \rightarrow V, \psi : V \rightarrow W\) 都是同胚映射，那么 \(\psi \circ \varphi\) 也是同胚映射。

Remark 3. \((\psi \circ \varphi)^{-1}=\varphi^{-1} \circ \psi^{-1}\)

Theorem 4. 设 \(\psi : U \rightarrow V\)为同胚映射, \(A \subset U\) 为开集，则 \(\psi(A)\) 也为开集。

一致连续

设 \(f: E \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) . \(x\in E\) 为任意元素，\(\epsilon >0\) 为任意正数，若存在 \(\delta >0\) 使得对于任意 \(x_0 \in E\)，当 \(x_0\) 与 \(x\) 的距离小于 \(\delta\) 时，\(f(x_0)\) 与 \(f(x)\) 的距离小于 \(\epsilon\)，则称 \(f\) 在 \(x\) 处一致连续。

Def 1. 设 \(f: E \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\).若

\[\forall \epsilon >0 ,\exists~ \delta >0 \quad s.t. \quad |f(x)-f(y)|\leq \epsilon, \quad \forall x,y \in E, |x-y| < \delta\]

则称 \(f\) 在 \(E\) 上一致连续。

Remark 1. 一致连续 即能找到一个 \(\delta\) 使得 \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)，这个 \(\delta\) 可以是任意的，即当两点值的误差足够小时，我们也可以找到一个足够小的m适用于所有 \(x\) 的 \(\delta\).

\[\forall \epsilon >0, \exists~ \delta >0 \quad s.t. \quad \omega(\delta) = \\ \mathop{sup}\limits_{x,y \in E\atop |x-y|<r}|f(y)-f(x)|\leq \epsilon\]

即 \(\omega(0^+)=0\)

于是一直连续函数的定义可以改写为 \[\lim_{r \rightarrow 0^+} \omega(r)=0\]

上课时间：2022-11-2