数学分析笔记1
连续函数
数学分析笔记1
Def1: 设 \(f : E \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 如果 \(\forall x \in E\), \(f\)在\(x\)点连续。则称\(f\)连续。
设 \(E \subset \mathbb{R}, E \neq \varnothing,~ C(E) = \{ f : E \rightarrow \mathbb{R}, f\text{ 连续 }\}\)。
显然， \(C(E) \neq \varnothing\)
性质：连续函数的线性组合还是连续函数。
\[ f ,g \in C(E) \rightarrow \alpha f + \beta g \in C(E)\]
\(C(E)\)是线性空间，即为对线性运算封闭的空间。
Statement1: （连续函数的限制）
设\(f \in C(E),A \in E , A \neq \varnothing\) , 则\(f|_A\)连续，（连续函数的限制仍然连续。）
Proof1:
设 \(x \in A\) , \(f\)在\(x\)点连续，即 \(\forall \epsilon > 0\), \(\exists \delta > 0\), 使得 \(\forall x \in (x_0 -\delta, x_0 + \delta )\cap E, |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \rightarrow \forall x \in (x_0 -\delta, x_0 + \delta )\cap A, |f(x) - f(x_0)| < \epsilon\)。 于是\(f|_A\)在\(x\)点连续。
Statement2: （连续函数的延拓）
设\(f \in C(K)\) , \(K\)是紧集，则 \(\exists \tilde{f} \in C(R) ~s.t. ~\tilde{f}|_K =f\).
Remark2: 定义域为紧集的连续函数可以延拓到实数域上，且仍然为连续函数.
Statement3： 单调函数的连续性
设 \(-\infty \leq a <b \leq +\infty ~, ~ f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}\) 单调。如果 \(R(f) =(c,d), -\infty \leq c <d \leq +\infty\),则\(f\in C(a,b)\)。
Remark3: 若\(f\)不连续，则\(R(f)\)必然存在缺口，值域就不是完整的开区间
Proof3: 不妨设 \(f\) 单调增，设\(x_0 \in (a,b)\)
\[\forall x \in (a,x_0), c<f(x)\leq \sup_{(a,x_0)} f =f(x_0^-)\ \rightarrow f((a,x_0)) \subset \{c,f(x_0^-)\}\]
同理，\(f((x_0,b)) \subset \{f(x_0^+),d\}\)
于是, \((c,d) = R(f) \subset (c,x_0^-) \cup {f(x_0}) \cup (f(x_0^+,d) \subset (c,d)\)
因此，每个集合都等于\((c,d)\)，即\(f(x_0^-) =f(x_0) =f(x_0^+)\)。那么函数在\(x_0\)连续，即\(f\in C(a,b)\)。
Statement4: 单调函数的连续性（补充）
上个命题讨论了单调函数定义域为开区间上的连续性，但是单调函数的连续性，同样可以在闭区间上讨论。
设 \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) 单调，\(f(a) = c, f(b) = d\)。且\(R(f) = [c,d]\) , 则 \(f\in C[a,b]\)。
Proof4: 我们只需在\(x=a\)点处和\(x=b\)点处引出两条新的直线，且斜率为正，那么就延拓出了一个定义域为\((-\infty,+\infty)\)的函数 \(\tilde{f}\)，且仍然单调。于是，\(\tilde{f}\in C(-\infty,+\infty)\)。因此，\(f\in C[a,b]\)。
Statement5: 初等函数的连续性
基本初等函数都是连续的，证明略。
连续函数的整体刻画
Def1. 相对开集
设 \(E \subset \mathbb{R}, E\neq \varnothing\) , 设 \(A \subset E,~ \exists ~U \subset \mathbb{R}~ s.t. ~ A = U \cap E\). 其中\(U\)是开集，则 \(A\) 是 \(E\)的相对开集。
Statement1:
设 \(E \subset R ~, ~ E \neq \varnothing~,~A \subset E\)
- 若\(A\)为开集，则\(A\)是\(E\)的相对开集。 ( \(\because A = E \cap A\) )
- 若\(E\)为开集，则\(A\)是\(E\)的相对开集，当且仅当\(A\)是开集。
上课时间 2022-10-31